高中数学第三章三角恒等变换3 - 1 - 2两角和与差的正弦学案苏教版必修4

3.1.2　两角和与差的正弦

学习目标　1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值．

知识点　两角和与差的正弦

思考1　如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？

思考2　如何推导两角差的正弦呢？

梳理　(1)两角和与差的正弦公式

记忆口诀：“正余余正，符号相同”．

(2)辅助角公式

asin x＋bcos x＝，

令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角．

类型一　给角求值

例1　(1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．

(2)＝________.

反思与感悟　(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．

(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．

跟踪训练1　计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；

(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．

类型二　给值求值

例2　已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．

反思与感悟　(1)给值(式)求值的策略：

①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．

跟踪训练2　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．

类型三　辅助角公式

例3　将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：

(1) sin x－cos x；

(2) sin(－x)＋cos(－x)．

反思与感悟　一般地对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.

跟踪训练3　sin－cos＝________.

例4　已知函数f(x)＝2sin－2cos x，x∈，求函数f(x)的值域．

反思与感悟　(1)用辅助角公式化成一角一函数，

即asin x＋bcos x＝sin(x±φ)的形式．

(2)根据三角函数的单调性求其值域．

跟踪训练4　(1)当函数y＝sin x－cos x(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝________；

(2)函数f(x)＝sin x－cos的值域为________．

1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________．

2．化简：cos＋sin＝________.

3．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.

4．计算cos＋sin的值是________．

5．化简：sincos－cos·sin.

1．公式的推导和记忆

(1)理顺公式间的逻辑关系

C(α－β) C(α＋β) S(α＋β) S(α－β).

(2)注意公式的结构特征和符号规律

对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；

对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．

(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．

2．应用公式需注意的三点

(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．

(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．

(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．

答案精析

问题导学

知识点

思考1　sin(α＋β)＝cos

＝cos＝cos·cos β＋sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β.

思考2　可以由sin(α－β)＝cos[－(α－β)]＝cos[(－α)＋β]得到，

也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．

梳理　(1)sin αcos β＋cos αsin β

题型探究

例1　(1)　(2)

跟踪训练1　解　(1)原式

＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)

＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°

＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.

(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.

例2　解　∵0<α<<β<，

∴<＋α<π，－ <－β<0.

又∵sin＝，

cos＝，

∴cos＝－，

sin＝－.

∴cos(α＋β)＝sin＝sin

＝sincos－cossin

＝×－×＝－.

跟踪训练2　解　∵<β<α<，

∴0<α－β<，π<α＋β<.

∴sin(α－β)＝＝＝，

cos(α＋β)＝－＝－＝－.

∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β)

＝－×－×＝－，

cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)·sin(α－β)

＝－×＋×＝－.

例3　解　(1) sin x－cos x＝2(sin x－cos x)

＝2(cos sin x－sin cos x)＝2sin(x－)．

(2)原式＝[sin(－x)＋cos(－x)]

＝[sin sin(－x)＋cos cos(－x)]

＝cos(－x－)＝cos(－x)＝sin(x＋)．

跟踪训练3　－

例4　解　f(x)＝2sin－2cos x＝sin x－cos x＝2sin，

因为≤x≤π，所以≤x－≤.

所以≤sin≤1.

所以函数f(x)的值域为[1,2]．

跟踪训练4　(1)　(2)[－，]

当堂训练

1.　2.cos α　3.　4.2　5.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1ca2bdcf03d276a20029bd64783e0912a2167cb1.html