2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．b3•b3＝2b3 B．x6÷x2＝x3 C．（a3）2＝a6 D．（a5）2＝a7

3．（3分）一种新型病毒的直径约为0.000023毫米，用科学记数法表示为（　　）毫米．

A．0.23×10﹣6 B．2.3×106 C．2.3×10﹣5 D．2.3×10﹣4

4．（3分）计算的结果是（　　）

A． B． C． D．3

5．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）

A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6

6．（3分）下列式子中，不是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．2

7．（3分）若分式的值为0，则x的值应为（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3

8．（3分）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（　　）的交点．

A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线

C．三条中线 D．三条高

9．（3分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为（　　）米．

A．4 B．8 C．12 D．3+3

10．（3分）如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）

A．3 B．±3 C．6 D．±6

11．（3分）关于x分式方程﹣＝1的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞0 B．m＞2 C．m＞2且m≠3 D．m≠1

12．（3分）如图，在Rt直角△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF，其中正确结论是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④

二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）分解因式：m2n﹣4n＝　 　．

14．（3分）比较大小：　 　3．（填“＞”、“＝”或“＜”）

15．（3分）一个等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为　 　．

16．（3分）约分的结果是　 　．

17．（3分）要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是　 　．

18．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　 　°．

三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25，26题每小题6分，共66分）

19．（6分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣1+|﹣2|﹣．

20．（6分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2）+（x﹣1）2，其中x＝．

21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，5），（﹣2，1）．

（1）写出点C及点C关于y轴对称的点C′的坐标；

（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；

（3）求△ABC的面积．

22．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF

（1）求证：△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．

23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC上的一点，将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在边AB上的E处，且BD＝4，CD＝．

（1）求BE的长；

（2）求AC的长．

24．（9分）“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A，B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：

（1）A，B两种设备每台的成本分别是多少万元？

（2）A，B两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，该公司生产两种设备各30台，为更好地支持“一带一路”的战略构想，公司决定优惠卖给“一带一路”沿线的甲国，A种设备按原来售价8折出售，B种设备在原来售价的基础上优惠10%，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？

25．（10分）数学的趣味无处不在，在学习数学的过程中，小明发现了有规律的等式：

（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；

（x3﹣1）÷（x﹣1）＝+x2+x+1；

（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；

（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；

……

（1）从计算过程中找出规律，可知：

①（x8﹣1）÷（x﹣1）＝　 　；

②　 　＝xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1．

（2）计算：2n+2n﹣1+……+x3+x2+x+1（结果用含n的式子表示）

（3）对于算式：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）+1

①计算出算式的值（结果用乘方表示）；

②直接写出结果的个位数字是几？

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（3，0），AB＝6，作∠DBO＝∠ABO，点H为y轴上的点，∠CAH＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．

（1）证明：△ABE为等边三角形；

（2）若CD⊥AB于点F，求线段CD的长；

（3）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1个单位长度每秒，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A路线运动，速度为2个单位长度每秒，到A点处停止运动．两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间时△OPM与△OQN全等？

2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各个汉字进行判断即可得解．

【解答】解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、“国”是轴对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．b3•b3＝2b3 B．x6÷x2＝x3 C．（a3）2＝a6 D．（a5）2＝a7

【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、b3•b3＝b6，故此选项错误；

B、x6÷x2＝x4，故此选项错误；

C、（a3）2＝a6，故此选项正确；

D、（a5）2＝a10，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．（3分）一种新型病毒的直径约为0.000023毫米，用科学记数法表示为（　　）毫米．

A．0.23×10﹣6 B．2.3×106 C．2.3×10﹣5 D．2.3×10﹣4

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000023＝2.3×10﹣5．

故选：C．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4．（3分）计算的结果是（　　）

A． B． C． D．3

【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．

【解答】解：×＝，

故选：B．

【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单．

5．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）

A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6

【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．

【解答】解：A、因为12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形；

B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；

C、因为32+42＝52，所以三条线段能组成直角三角形；

D、因为42+52≠62，所以三条线段不能组成直角三角形．

故选：C．

【点评】此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算．

6．（3分）下列式子中，不是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．2

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【解答】解：A．＝，不是二次根式；

B．是最简二次根式；

C．是最简二次根式；

D．2是最简二次根式；

故选：A．

【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

7．（3分）若分式的值为0，则x的值应为（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3

【分析】分式的值为零：分子为零，且分母不为零．

【解答】解：由题意知x﹣1＝0且x﹣3≠0，

解得：x＝1，

故选：A．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

8．（3分）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（　　）的交点．

A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线

C．三条中线 D．三条高

【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．

【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．

故选：B．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

9．（3分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为（　　）米．

A．4 B．8 C．12 D．3+3

【分析】根据直角三角形的性质求出AB，计算即可．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴AB＝2BC＝8（米）

∴这棵树在折断前的高度＝4+8＝12（米），

故选：C．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

10．（3分）如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）

A．3 B．±3 C．6 D．±6

【分析】根据完全平方公式是和的平方加减积的2倍，可得m的值．

【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，

∴m＝±3，

故选：B．

【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的平方和加减积的2倍，注意符合条件的m值有两个．

11．（3分）关于x分式方程﹣＝1的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞0 B．m＞2 C．m＞2且m≠3 D．m≠1

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，由解为正数求出m的范围即可．

【解答】解：去分母得：m﹣3＝x﹣1，

解得：x＝m﹣2，

由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，

解得：m＞2且m≠3．

故选：C．

【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．

12．（3分）如图，在Rt直角△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF，其中正确结论是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE＝CF，判断出②正确；根据BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④错误．

【解答】解：∵∠B＝45°，AB＝AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵点D为BC中点，

∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，

∴∠CAD＝∠B，

∵∠MDN是直角，

∴∠ADF+∠ADE＝90°，

∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，

∴∠ADF＝∠BDE，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

故③正确；

∴DE＝DF、BE＝AF，

∴△DEF是等腰直角三角形，

故①正确；

∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，

∴AE＝CF，

故②正确；

∵BE+CF＝AF+AE

∴BE+CF＞EF，

故④错误；

综上所述，正确的结论有①②③；

故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）分解因式：m2n﹣4n＝　n（m+2）（m﹣2）　．

【分析】原式提取n，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝n（m2﹣4）＝n（m+2）（m﹣2），

故答案为：n（m+2）（m﹣2）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．（3分）比较大小：　＞　3．（填“＞”、“＝”或“＜”）

【分析】先求出3＝，再比较即可．

【解答】解：∵32＝9＜10，

∴＞3，

故答案为：＞．

【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．

15．（3分）一个等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为　50°　．

【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．

【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，

∴它的一个底角为（180°﹣80°）÷2＝50°．

故填50°

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．

16．（3分）约分的结果是　﹣　．

【分析】先分解出分子和分母的公因式，再约去即可得．

【解答】解：＝﹣＝﹣，

故答案为：．

【点评】本题考查了分式的约分，是基础知识要熟练掌握．

17．（3分）要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是　x≥2　．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．

【解答】解：要使在实数范围内有意义，

x应满足的条件x﹣2≥0，即x≥2．

【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

18．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　35　°．

【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB＝∠DAB，计算即可．

【解答】解：作MN⊥AD于N，

∵∠B＝∠C＝90°，

∴AB∥CD，

∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，

∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，

∴MN＝MC，

∵M是BC的中点，

∴MC＝MB，

∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，

∴∠MAB＝∠DAB＝35°，

故答案为：35

【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25，26题每小题6分，共66分）

19．（6分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣1+|﹣2|﹣．

【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣1+|﹣2|﹣

＝1+2+2﹣3

＝3﹣．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式等考点的运算．

20．（6分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2）+（x﹣1）2，其中x＝．

【分析】原式利用平方差公式，单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式＝x2﹣9﹣x2+2x+x2﹣2x+1＝x2﹣8，

当x＝时，原式＝3﹣8＝﹣5．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，5），（﹣2，1）．

（1）写出点C及点C关于y轴对称的点C′的坐标；

（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；

（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）直接利用平面坐标系，结合关于y轴对称点的性质得出答案；

（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；

（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：点C（﹣1，3），点Cˊ（1，3）；

（2）如图所示：△A′B′C′，即为所求；

（3）△ABC的面积为：3×4﹣×2×3﹣×1×2﹣×4×2＝4．

【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．

22．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF

（1）求证：△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．

【分析】（1）运用HL定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题．

（2）证明∠BAE＝∠BCF＝25°；求出∠ACB＝45°，即可解决问题．

【解答】证明：（1）在Rt△ABE与Rt△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（HL）．

（2）∵△ABE≌△CBF，

∴∠BAE＝∠BCF＝20°；

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝45°，

∴∠ACF＝65°．

【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键．

23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC上的一点，将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在边AB上的E处，且BD＝4，CD＝．

（1）求BE的长；

（2）求AC的长．

【分析】（1）由折叠即可得到CD＝DE＝，∠C＝∠AED＝90°，再根据勾股定理，即可得到Rt△BDE中，BE＝；

（2）设AC＝AE＝x，在Rt△ABC 中，根据勾股定理得方程，解方程即可得到AC的长．

【解答】解：（1）由折叠知△ACD≌△AED，

∴CD＝DE＝，∠C＝∠AED＝90°，

在Rt△BDE中，由勾股定理得，BE＝＝＝3，

∴BE＝3；

（2）由折叠知AC＝AE，设AC＝AE＝x

在Rt△ABC 中，由勾股定理得：

AB2＝AC2+BC2，

即（x+3）2＝x2+，

解得，

∴AC＝．

【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

24．（9分）“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A，B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：

（1）A，B两种设备每台的成本分别是多少万元？

（2）A，B两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，该公司生产两种设备各30台，为更好地支持“一带一路”的战略构想，公司决定优惠卖给“一带一路”沿线的甲国，A种设备按原来售价8折出售，B种设备在原来售价的基础上优惠10%，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？

【分析】（1）设A种设备每台的成本是x万元，B种设备每台的成本是1.5x万元．根据数量＝总价÷单价结合“投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据“利润＝售价﹣成本”计算．

【解答】解：（1）设A种设备每台的成本是x万元，则B种设备每台的成本是1.5x万元．

根据题意得：．

解得：x＝4．

经检验x＝4是分式方程的解．

∴1.5x＝6．

答：A种设备每台的成本是4万元，B种设备每台的成本是6万元．

（2）优惠后A种的售价为：4.8万元．

优惠后B种的售价为：9万元．

（4.8﹣4）×30+（9﹣6）×30＝114（万元）

答：设备全部售出，该公司一共获利114万元．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

25．（10分）数学的趣味无处不在，在学习数学的过程中，小明发现了有规律的等式：

（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；

（x3﹣1）÷（x﹣1）＝+x2+x+1；

（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；

（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；

……

（1）从计算过程中找出规律，可知：

①（x8﹣1）÷（x﹣1）＝　x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1　；

②　（xn﹣1）÷（x﹣1）　＝xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1．

（2）计算：2n+2n﹣1+……+x3+x2+x+1（结果用含n的式子表示）

（3）对于算式：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）+1

①计算出算式的值（结果用乘方表示）；

②直接写出结果的个位数字是几？

【分析】（1）①根据所给出的规律可求（x8﹣1）÷（x﹣1）；

②根据所给出的规律可求（xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1．

（2）由规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1，再把x＝2代入计算即可求解；

（3）①变形为（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）+1，再根据平方差公式即可求解；

②先计算31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729等数字的值，找到个位数字的变化规律，进而推算出3128的个位数字．

【解答】解：（1）①（x8﹣1）÷（x﹣1）＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1；

②（xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1．

（2）由（1）知（xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1，

所以（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1，

当x＝2时，（2n+1﹣1）÷（2﹣1）＝2n+2n﹣1+……+x3+x2+x+1＝2n+1﹣1，

所以原式＝2n+1﹣1．

（3）①2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）+1

＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）+1

＝3128﹣1+1

＝3128；

②∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729个位数字是按3，9、7、1循环的；

∴128÷4＝32，

即3128的个位数字是第32组末位数，为1．

故答案为：x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1；（xn﹣1）÷（x﹣1）．

【点评】本题考查了平方差公式、尾数特征、整式的除法，解题的关键是注意指数的变化．

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（3，0），AB＝6，作∠DBO＝∠ABO，点H为y轴上的点，∠CAH＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．

（1）证明：△ABE为等边三角形；

（2）若CD⊥AB于点F，求线段CD的长；

（3）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1个单位长度每秒，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A路线运动，速度为2个单位长度每秒，到A点处停止运动．两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间时△OPM与△OQN全等？

【分析】（1）由“ASA”证得△AOB≌△EOB，得出AO＝EO＝3，BE＝AB＝6，即可得出结论；

（2）由（1）知∠ABE＝∠BEA＝∠EAB＝60°，求得∠AOF＝30°，得出AF＝OA＝，求出AO＝AC，CF＝，BF＝，BD＝9，由勾股定理求得DF＝，即可得出结果；

（3）设运动的时间为t秒，①当点P、Q分别在y轴、x轴上时，②当点P、Q都在y轴上时，③当点P在x轴上，Q在y轴且二者都没有提前停止时，④当点P在x轴上，Q在y轴且点Q提前停止时，列方程即可得到结论．

【解答】（1）证明：在△AOB与△EOB中，，

∴△AOB≌△EOB （ASA），

∴AO＝EO＝3，BE＝AB＝6，

∴AE＝BE＝AB＝6，

∴△ABE为等边三角形；

（2）解：由（1）知∠ABE＝∠BEA＝∠EAB＝60°，

∵CD⊥AB，

∴∠AOF＝30°，

∴AF＝OA＝，

∴在Rt△AOF中，OF＝＝＝，

∵∠CAH＝∠BAO＝60°，

∴∠CAF＝60°，∠ACF＝∠AOF＝30°，

∴OA＝2AF，AC＝2AF，

∴AO＝AC，又CD⊥AB，

∴CF＝＝＝，

∵AB＝6，AF＝，

∴BF＝，

在Rt△BDF中，∠DBF＝60°，∠D＝30°，

∴BD＝9，

由勾股定理得：DF＝＝＝，

∴CD＝DF+CF＝+＝；

（3）解：设运动的时间为t秒，

①当点P、Q分别在y轴、x轴上时，，PO＝QO得：，解得（秒）；

②当点P、Q都在y轴上时，，PO＝QO得：，解得（秒）；

③当点P在x轴上，Q在y轴且二者都没有提前停止时，则PO＝QO得：，解得（秒）不合题意，舍去；

④当点P在x轴上，Q在y轴且点Q提前停止时，有t﹣3＝3，解得t＝6（秒）；

综上所述：当两动点运动时间为、、6秒时，△OPM与△OQN全等．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理与正确理解题意是解题的关键．

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日期：2019/9/26 22:02:28；用户：於雷；邮箱：159********；学号：5108470

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