江苏省如皋中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题

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江苏省如皋市2018-2019学年度第一学期第二次月考试卷

高三数学（理科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．

1． 若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为　　▲　　．

2． 函数 的最小正周期为 ▲ ．

3． 已知等差数列满足，，则的值为 ▲ ．

4． 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所 得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校2000名男生中体重在

70～78(kg)的人数为　　▲　　．

(第4题) (第5题)

5. 运行如图所示的流程图，输出的结果是　　▲　　．

6． 将一个半径为的小铁球与一个底面周长为，高为的铁制圆柱重新锻造成一个大 铁球，则该大铁球的表面积为　　▲　　．

7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的

正方体）， 观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．

8. 若实数满足则的取值范围是　　▲　　．

9． 已知圆 与圆相切于原点，且过点 ，则圆的标准方 程为　　▲　　．

10．在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线与圆

没有交点，则双曲线离心率的取值范围是　　▲　　．

11. 如图，在由个边长为，一个顶角为的菱形组成的图形中，

▲ ．

12． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a不是最大边，已知

a2－b2＝2bcsinA，则2tanA－3tanB的最小值为

13． 已知数列满足：，.若成等差数列， ，，则= ▲ .

14． 已知，若存在及唯一正

整数，使得，则实数a的取值范围是 ▲ ．

二、 解答题：本大题共6小题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．

(1) 证明：B1C1∥平面A1DE；

(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE.

16．（本小题满分14分）

在中，角的对边分别为,且满足；

(1) 求角的大小；

(2) 设的最大值是5，求k的值．

17．（本小题满分14分）

如图，某小区内有两条相互垂直的道路和，以、所在的直线为坐标轴建系，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图像，前一段曲线是函数图像的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米， 长为20米.

(1) 求函数的解析式；

(2) 现要在此地建一个社区活动中心，平面

图形为梯形（其中为两

底边）.问：梯形的高为多少米时，该社

区活动中心的占地面积最大，并求出最

大面积.

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过 点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交 椭圆于两点.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若，求的值；

(3) 设直线，的斜率分别为，，是否存在实

数，使得，若存在，求出的值；若不存

在，请说明理由.

19.(本小题满分16分)

在数列 中，已知 ，为常数.

(1) 证明: 成等差数列;

(2) 设 ，求数列的前n项和；

(3) 当时，数列 中是否存在三项 成等比数

列， 且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20. （本小题满分16分）

已知函数

(1) 若，且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线，求实数a的值：

(2) 若存在使得不等式f(x)>x2＋m成立，求实数m的取值范围；

(3) 若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在上总有零点，求实数b的取值范围．

江苏省如皋市2018-2019学年度第一学期第二次月考试卷

高三数学（理科）附加题

(本部分满分40分，考试时间30分钟)

21. (本小题满分10分)

已知x，y∈R，若点M(1，1)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点N(3，5)，求矩阵A的逆矩阵A－1.

22 (本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数，m是常数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.

(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2) 若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且PQ＝2，求实数m的值．

23．（本题满分10分）

如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记．

（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；

（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值.

24．（本小题满分10分）

某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科全获A等级加5分，记1表示该生的加分数，2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值。

（1）求1的数学期望；

（2）求2的分布列。

答 案

一． 填空题

1. －6 2. 3. 11 4. 240 5. 94 6. 7.

8. 9. 10.

11. 12. 13 . 1 14

二．解答题

15证明：⑴在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以，.………2分

在中，分别为的中点，故，所以，.………4分

又平面，平面，

所以平面 .………7分

⑵在平面内，过作于，

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， .………11分

又平面，所以，

在直三棱柱中，平面，平面，所以，

因为，平面，平面，所以平面，

因为平面，所以。 .………14分

16. 解：（1）∵(2a－c)cosB=bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC

即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)

∵A+B+C=π， ∴2sinAcosB=sinA ∵0<A<π,∴sinA≠0.

∴cosB=∵0<B<π，∴B=.…………………………………………………7分

（2）=4ksinA+cos2A =－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）

设sinA=t，则t∈.则=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈

∵k>1，∴t=1时，取最大值.依题意得，－2+4k+1=5，∴k=.…14分

17.

18．（1）设椭圆方程为，由题意知：……………2分

解之得：，所以椭圆方程为： ……………………………4分

（2）若，可得，所以，

此时直线方程为， ……………………………………………6分

由，得，解得，…………8分

故．…………………………………………………………………10分

（3）设，则，

直线的方程为，代入椭圆方程，得

　　　　　，

因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，…………………12分

又在直线上，所以，

同理，点坐标为，， ……………………………………………14分

所以，

即存在，使得． ………………………………………………………16分

19. （1）因为，[

所以，

同理，，， ……………………2分

又因为，，…………………………………………………3分

所以，

故，，成等差数列．…………………………………………………………4分

（2） 由，得，…………………………5分

令，则，，

所以是以0为首项，公差为的等差数列，

所以，…………………………………………………6分

即，

所以，

所以． ………………………………………………………8分

当， ……………………………………………………………9分

当．………………10分

（3）由（2）知，

用累加法可求得，

当时也适合，所以　……………………12分

假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，

则，即，　………14分

因为成等比数列，所以，

所以，

化简得，联立 ，得．

这与题设矛盾．

故不存在三项成等比数列，且也成等比数列．…16分

20. 解析：(1) 由g(－1)＝0知，g(x)的直线图象过点(－1，0)．

设切点坐标为T(x0，y0)，由f′(x)＝ex得切线方程是y－ex0＝ex0(x－x0)，

此直线过点(－1，0)，故0－ex0＝ex0(－1－x0)，解得x0＝0，所以a＝f′(0)＝1.

…………3分

(2) 由题意得m<ex－x2，成立，

令m(x)＝ex－x2，，则m′(x)＝ex－2x，再令n(x)＝m′(x)＝ex－2x，则n′(x)＝ex－2，

故当时，n′(x)<0，n(x)单调递减；当时，n′(x)>0，n(x)单调递增， …………5分

从而n(x)在上有最小值n(ln2)＝2－2ln2>0，

所以m(x)在上单调递增， …………6分

所以，即. …………8分

(3) 若a<0，F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－ax－b在(0，＋∞)上单调递增，

故F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0，即b>1，(10分)

以下证明当b>1时，F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点．

①若a<0，

由于F(0)＝1－b<0，F＝e－－a－b＝e－>0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，

故F(x)在上必有零点；(12分)

②若a≥0，F(0)＝1－b<0，

由(2)知ex>x2＋1>x2在x∈(0，＋∞)上恒成立，

取x0＝a＋b，则F(x0)＝F(a＋b)＝ea＋b－a(a＋b)－b>(a＋b)2－a2－ab－b＝ab＋b(b－1)>0，

由于F(0)＝1－b<0，F(a＋b)>0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，

故F(x)在(0，a＋b)上必有零点，

综上得，实数b的取值范围是(1，＋∞)．(16分)

附加题答案

21． 解析：因为A＝，即＝，即解得

所以A＝.(5分)

方法一：设A－1＝，则AA－1＝＝，即(7分)

解得所以A－1＝.(10分)

方法二：因为＝，

且det(A)＝＝2×2－1×3＝1，

所以A－1＝－1＝.(10分)

22. 解析：(1) 因为直线l的参数方程是： (t是参数)，

所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.(2分)

因为曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，所以ρ2＝6ρcosθ ，所以x2＋y2＝6x，

所以曲线C的直角坐标方程是(x－3)2＋y2＝9.(5分)

(2) 设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝2.

又d＝＝2.(8分)

所以|3－m|＝4，即 m＝－1或m＝7.(10分)

22. 解：连接CE， 以分别为轴，

建立如图空间直角坐标系，

则，

因为F为线段AB上一动点，且，

则， 所以.

（1）当时，，，

所以； …………5分

（2），

设平面的一个法向量为=

由,得，化简得，取

设与平面所成角为，则.

解得或（舍去），所以. …………10分

24．解析：(1) 记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai，i＝1，2，3，4.(1分)

ξ1的可能取值为0，1，2，3，5.(2分)

则P(Ai)＝C，(3分)

即P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，

P(A3)＝，P(A4)＝，

则ξ1的分布列为

所以E(ξ1)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝.(5分)

(2) ξ2的可能取值为0，2，4，则

P(ξ2＝0)＝P(A2)＝；(7分)

P(ξ2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝＋＝；(8分)

P(ξ2＝4)＝P(A0)＋P(A5)＝＋＝，(9分)

则ξ2的分布列为

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1b09b26a4128915f804d2b160b4e767f5acf808d.html