线性方程组在高等代数中的重要地位及应用

线性方程组在高等代数中的重要地位及应用

◎杨艳丽

【摘 要】【摘要】理论结合实例，讨论了线性方程组在多项式理论、线性空间、矩阵的特征问题、欧氏空间几个方面的应用，说明在高等代数中以线性方程组为研究主线，有助于更好地理解各内容之间的相互联系.

【期刊名称】数学学习与研究：教研版

【年(卷),期】2015(000)015

【总页数】2

【关键词】【关键词】线性方程组；解；特征值；应用

高等代数是高校数学专业的一门重要基础课，是代数学的入门课程，它是中学代数与近世代数之间的一座桥梁，一方面它加深了中学代数中方程论部分的内容，另一方面由浅入深、由具体到抽象地引入近世代数的一些雏形.高等代数一般在大学一年级开设，面对概念多、性质多、定理多、逻辑性强等特点，大多数学生都反映这门课程难学，思维方式与以前学的数学迥然不同，概念更加抽象，理解起来也更加困难，有些知识虽然表面上理解了，但做题时却完全没有思路.久而久之，由于对概念、性质理解不透彻，前后知识无法衔接，最后即使真心想学好这门课也是心有余而力不足了.

学生在中学阶段已经学习过用消元法解二元、三元线性方程组，高等代数在此基础上借助矩阵这个重要的工具解决了对一般线性方程组的解进行讨论并得出统一解法.本文结合高等代数这门课程的特点以及知识点之间的内在联系，以线性方程组为研究主线，说明在高等代数中对很多问题的讨论都可以与线性方程组联系起来得以解决，使学生更好地把握高等代数的内容.线性方程组的理论是高等代数中非常重要的基础理论，它有着广泛的应用，本文主要讨论了线性方程组在多项式理论、线性空间、矩阵的特征问题以及欧氏空间几个方面的应用.

一、线性方程组的相关结论

首先给出本文讨论依赖的线性方程组中几个重要的结论：

引理1 若齐次线性方程组

的系数矩阵的行列式|A|≠0，则该方程组只有零解；若=0，则该方程组有非零解.

引理2 齐次线性方程组在有非零解的情况下存在基础解系，并且基础解系所含解的个数和自由未知量的个数都等于n-r，这里n表示方程组中未知量的个数，r表示系数矩阵的秩.

另外，在线性空间理论中我们还有齐次线性方程组As×nX=0的解空间的维数仍为n-r，其中r=r(A).

引理3 设A,B均为m×n矩阵，则有r(A+B)≤r(A)+r(B).

引理4 设A,B均为n×n矩阵，则当AB=0时，有r(A)+r(B)≤n.

二、线性方程组在多项式理论中的应用

例1 若n次实系数多项式有n+1个相异的实根，则f(x)≡0.

证明 设xi(i=1,2,…,n,n+1)为f(x)的n+1个不同实根，则由多项式根的定义有

(1)

上式可以看作是关于a0,a1,…,an的齐次线性方程组，因x1,…,xn,xn+1互不相同，故其系数矩阵的行列式，于是方程组(1)仅有零解，即a0=a1=…=an=0，从而f(x)≡0.

此外，文[4]还讨论了用线性方程组求带余除法的余式和商式，在此不再赘述.

三、线性方程组在线性空间中的应用

1.在讨论向量组线性相关性中的应用

通过教材[1]的学习我们知道，要判断一组向量α1,α2,…,αn线性相关还是线性无关的问题，实际上就是去求解一个齐次线性方程组有非零解还是只有零解.

例2[2]75-76 设向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关，且，试讨论β1,β2,…,βs的线性相关性.

解 设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+ks(αs+α1)=0.

整理得(k1+ks)α1+(k1+k2)α2+…+(ks-1+ks)αs=0.

由于α1,α2,…,αs线性无关，可知必有

(2)

其系数行列式

因此，当s为偶数时，线性方程组(2)有非零解，即k1,k2,…,ks不全为0，从而β1,β2,…,βs线性相关；当s为奇数时，线性方程组(2)只有零解，即k1=k2=…=ks=0全为0，从而β1,β2,…,βs线性无关.

用类似的方法，借助线性方程组还可以判断一个向量β是否可由向量组α1,α2,…,αs线性表出.我们先假设β=x1α1+x2α2+…+xsαs，根据向量相等得到以x1,x2,…,xs为未知量的非齐次线性方程组，然后判断该方程组是否有解.若方程组无解，则β不能由向量组α1,α2,…,αs线性表出；若方程组有解，则β可由向量组α1,α2,…,αs线性表出，且当解唯一时线性表达式也唯一.

2.在求子空间维数与基中的应用

例3 在P4中，设α1=(1,2,1,0),α2=(-1,1,1,1),β1=(2,-1,0,1),β2=(1,-1,3,7)，求L(α1,α2)∩L(β1,β2)的维数与一组基.

解 ∀ξ∈L(α1,α2)∩L(β1,β2)，由子空间交的定义有 ξ=x1α1+x2α2=x3β1+x4β2，

则x1α1+x2α2-x3β1-x4β2=0，

即

解得(k为任意常数)，

从而ξ=k(-α1+4α2)=k(-3β1+β2).

令k=1，得ξ=-α1+4α2=-3β1+β2=(-5,2,3,4)为L(α1,α2)∩L(β1,β2)的一组基，故L(α1,α2)∩L(β1,β2)=L(ξ)的维数为1.

四、线性方程组在解决矩阵特征问题中的应用

矩阵的特征问题有两个方面：一是其特征值问题，二是其特征向量问题.前者涉及特征多项式，主要是行列式知识的应用；后者涉及方程组的求解理论及方法.

例4 已知三阶矩阵，试求A的伴随矩阵A*的特征值与特征向量.

解 先求A的特征值与特征向量.A的特征多项式为：

.

所以A的特征值为λ1=2,λ2=λ3=1.

当λ1=2时，解齐次线性方程组(2E-A)X=0求得属于特征值2的特征向量为ξ1=(0,0,1)′；

当λ2=λ3=1时，解齐次线性方程组(E-A)X=0求得属于特征值1的特征向量为ξ2=(1,-1,1)′.

因此，A*的特征值为的属于特征值1的全部特征向量为k1ξ1，A*的属于特征值2的全部特征向量为k2ξ2，k1,k2为任意常数.

本题也可以先计算A*，然后求A*的特征值、特征向量，但相对上述方法计算量大，所以在解题时熟练应用相关公式和结论会使得求解过程方便很多.

例5 若A∈Rn×n，且A2-3A+2E=0，证明：A可相似于对角矩阵.

证明 由题设知A的特征值满足λ2-3λ+2=0，即A的特征值为λ1=2,λ2=1.

又A2-3A+2E=(A-2E)(A-E)=0，从而r(A-2E)+r(A-E)≤n.

又r(A-2E)+r(A-E)=r(A-2E)+r(E-A)≥r(A-2E+E-A)=r(E)=n，

故r(A-2E)+r(A-E)=n.

又由 (A-E)(A-2E)=A2-3A+2E=(A-2E)(A-E)知，矩阵A-2E的列向量即为齐次线性方程组(1)的线性无关解向量，从而(1)的线性无关解的个数m1≥r(A-2E)；矩阵A-E的列向量即为齐次线性方程组的线性无关解向量，从而(2)的线性无关解的个数m2≥r(A-E).

因此，m1+m2≥r(A-2E)+r(A-E)=n，又m1+m2≤n，故m1+m2=n，即A有n个线性无关的特征向量，从而A可相似于对角矩阵.

五、线性方程组在欧氏空间中的应用

例6 设W=L(β1,β2,β3)，其中β1=(1,2,2,1),β2=(2,1,-2,-2),β3=(1,-1,-4,-3)，求W⊥.

解 设α=(x1,x2,x3,x4)∈W⊥，则有.

即，解得基础解系η1=(2,-2,1,0),η2=(5,-4,0,3)，

从而W⊥=L(η1,η2).

高等代数内容纵横交错，前后联系紧密，并且这种联系比较隐蔽，而概念间的联系往往是我们解题的思路和切入点，如果对这种联系知之甚少，甚至不知，那么在解题时就会失去方向，无从下手.通过本文的讨论我们发现，线性方程组理论是研究高等代数除矩阵外又一强有力的工具，把高等代数中很多概念、知识点与线性方程组联系起来，问题总能迎刃而解，认识到这一点，对于学生学好这门课程将会有很大帮助.

【参考文献】

[1]王萼芳，石生明.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2010.

[3]史荣昌.线性代数习题集[M].北京：机械工业出版社，2003.

[4]徐乃楠.用线性方程组求带余除法的余式和商式[J].高等数学研究，2014.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/19b226d229160b4e767f5acfa1c7aa00b42a9ddc.html