（江苏专用）2019版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法 理

（江苏专用）2019版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法 理

数学归纳法

一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，有数学归纳法公理：

(1)如果当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；

(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．

那么，命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　×　)

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　)

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　×　)

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　×　)

(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　)

(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　)

1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是__________．

答案　1＋a＋a2

2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n＝________.

答案　3

解析　凸n边形边数最小时是三角形，

故第一步检验n＝3.

3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则下列说法正确的有________．

①f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋；

②f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋；

③f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋；

④f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋.

答案　④

4．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝____________________________.

答案　＋＋＋…＋

解析　∵Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋，

Sn＝1＋＋＋＋…＋，

∴Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.

5．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.

答案　3　4　5　n＋1

题型一　用数学归纳法证明等式

例1　用数学归纳法证明：

＋＋＋…＋＝ (n∈N*)．

证明　(1)当n＝1时，

左边＝＝，

右边＝＝，

左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设n＝k (k∈N*)时等式成立，即有

＋＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋

＝＋＝

＝＝＝.

所以当n＝k＋1时，等式也成立，

由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式恒成立．

思维升华　用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．

(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．

　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．

证明　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，

即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，

那么当n＝k＋1时，

左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)

＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)

＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2

＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，

所以当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．

题型二　用数学归纳法证明不等式

例2　已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈[，]时，f(x)≥.

(1)求a的值；

(2)设0<a1<，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an<.

(1)解　由题意，

知f(x)＝ax－x2＝－(x－)2＋.

又f(x)max≤，所以f()＝≤.

所以a2≤1.

又x∈[，]时，f(x)≥，

所以即

解得a≥1.

又因为a2≤1，所以a＝1.

(2)证明　用数学归纳法证明：

①当n＝1时，0<a1<，显然结论成立．

因为当x∈(0，)时，0<f(x)≤，

所以0<a2＝f(a1)≤<.

故n＝2时，原不等式也成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0<ak<成立．

由(1)知a＝1，f(x)＝x－x2，

因为f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝，

所以当x∈(0，]时，f(x)为增函数．

所以由0<ak<≤，得0<f(ak)<f()．

于是，0<ak＋1＝f(ak)<－·＋－＝－<.

所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

根据①②，知对任何n∈N*，不等式an<成立．

思维升华　(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，在归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．

　(2014·陕西)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．

(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设n∈N*，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．

解　由题设得，g(x)＝(x≥0)．

(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可猜想gn(x)＝.

下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．

②假设n＝k时结论成立，

即gk(x)＝.

那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))

＝＝＝，即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N*成立．

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．

设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，

则φ′(x)＝－＝，

当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增．

又φ(0)＝0，

∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．

当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0，

∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，

∴φ(a－1)<φ(0)＝0.

即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，

∴ln(1＋x)≥不恒成立，

综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．

(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln(n＋1)，

比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．

证明如下：上述不等式等价于＋＋…＋n＋1)，

在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.

令x＝，n∈N*，则.

下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，，结论成立．

②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋k＋1)．

那么，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋k＋1)＋k＋1)＋ln＝ln(k＋2)，即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N*成立．

题型三　归纳—猜想—证明

命题点1　与函数关系式有关的证明

例3　已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．

解　由x1＝及xn＋1＝，

得x2＝，x4＝，x6＝，

由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，已证命题成立．

(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2，

易知xk>0，那么

x2k＋2－x2k＋4＝－

＝

＝

＝>0，

即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.

所以当n＝k＋1时命题也成立．

结合(1)(2)知，对于任何n∈N*命题成立．

命题点2　与数列通项公式、前n项和公式有关的证明

例4　已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.

(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；

(2)证明通项公式的正确性．

(1)解　当n＝1时，

由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.

∴a1＝－1(an>0)．

当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，

将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.

∴a2＝－(an>0)．

同理可得a3＝－.

猜想an＝－(n∈N*)．

(2)证明　①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．

②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，

即ak＝－.

由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，

将ak＝－代入上式并整理得

a＋2ak＋1－2＝0，

解得：ak＋1＝－(an>0)．

即当n＝k＋1时，通项公式也成立．

由①和②可知，对所有n∈N*，an＝－都成立．

命题点3　存在性问题的证明

例5　(2014·重庆)设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．

(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；

(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．

解　(1)方法一　a2＝2，a3＝＋1.

再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.

从而数列{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，

故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*)．

方法二　a2＝2，a3＝＋1.

可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.

因此猜想an＝＋1.

下面用数学归纳法证明上式：

当n＝1时结论显然成立．

假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1，

则ak＋1＝＋1＝＋1

＝＋1.

所以当n＝k＋1时结论成立．

所以an＝＋1(n∈N*)．

(2)方法一　设f(x)＝－1，

则an＋1＝f(an)．

令c＝f(c)，即c＝－1，

解得c＝.

下面用数学归纳法证明加强命题：

a2n<c<a2n＋1<1.

当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，

所以a2<<a3<1，结论成立．

假设n＝k时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1.

易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.

再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1，故c<a2k＋3<1.

因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1.

这就是说，当n＝k＋1时结论成立．

综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.

方法二　设f(x)＝－1，

则an＋1＝f(an)．

先证：0≤an≤1(n∈N*)．①

当n＝1时，结论显然成立．

假设n＝k时结论成立，即0≤ak≤1.

易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而

0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝－1<1，

即0≤ak＋1≤1.

这就是说，当n＝k＋1时结论成立．

故①成立．

再证：a2n<a2n＋1(n∈N*)．②

当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝－1，

有a2<a3，即n＝1时②成立．

假设n＝k时，结论成立，即a2k<a2k＋1.

由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得

a2k＋1＝f(a2k)>f(a2k＋1)＝a2k＋2，

a2(k＋1)＝f(a2k＋1)<f(a2k＋2)＝a2(k＋1)＋1.

这就是说，当n＝k＋1时②成立，

所以②对一切n∈N*成立．

由②得a2n<－1，

即(a2n＋1)2<a－2a2n＋2，

因此a2n<.③

又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，

得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2，

所以a2n＋1>－1.

解得a2n＋1>.④

综上，由②③④知存在c＝使得a2n<c<a2n＋1对一切n∈N*成立．

思维升华　(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．

　(1)(2015·江苏)已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．

①写出f(6)的值；

②当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1 (n∈N*)．

①求a1，a2；

②猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．

解　(1)①Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)满足：

若a＝1，则b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，则b＝1,2,4,6；

若a＝3，则b＝1,3,6.所以f(6)＝13.

②当n≥6时，

f(n)＝(t∈N*)．

下面用数学归纳法证明：

ⅰ.当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；

ⅱ.假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：

1)若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3

＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；

2)若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1

＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；

3)若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2

＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；

4)若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2

＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；

5)若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2

＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；

6)若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1

＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立．

综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．

(2)①当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，

解得a1＝.

当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，

∴2－a2－a2＝0，解得a2＝.

②由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得

SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.

由①得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.

猜想Sn＝ (n∈N*)．

下面用数学归纳法证明这个结论．

1)当n＝1时，结论成立．

2)假设n＝k (k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk＝，

当n＝k＋1时，Sk＋1＝＝＝＝，即当n＝k＋1时结论成立．

由1)2)知Sn＝对任意的正整数n都成立．

9．归纳—猜想—证明问题

典例　(14分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．

(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；

(2)证明(1)中的猜想．

思维点拨　(1)由S1＝a1算出a1；由an＝Sn－Sn－1算出a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出通项公式．

(2)用数学归纳法证明．

规范解答

(1)解　当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝；

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，

∴a4＝.[3分]

由此猜想an＝(n∈N*)．[5分]

(2)证明　①当n＝1时，a1＝1，结论成立．[6分]

②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，

即ak＝，

那么n＝k＋1时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak

＝2＋ak－ak＋1，

∴2ak＋1＝2＋ak.[10分]

∴ak＋1＝＝＝.

∴当n＝k＋1时，结论成立．[13分]

由①②知猜想an＝(n∈N*)成立．[14分]

归纳—猜想—证明问题的一般步骤

第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论．

第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0∈N*)成立．

第三步：假设n＝k(k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．

第四步：下结论，由上可知结论对任意n≥n0，n∈N*成立．

温馨提醒　解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：

(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．

(2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．

(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．

另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．

[方法与技巧]

1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可

有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础．

2．归纳假设的作用

在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：

(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设．

3．利用归纳假设的技巧

在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．

[失误与防范]

1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；

2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．

A组　专项基础训练

(时间：40分钟)

1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是_________________________．

答案　3

解析　∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；

n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；

n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．

∴n的第一个取值应是3.

2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋> (n∈N*)成立，其初始值至少应取________．

答案　8

解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.

3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________．

答案　n2

解析　计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2.

4．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：

(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1.

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法________(填序号)．

①过程全部正确；

②n＝1验得不正确；

③归纳假设不正确；

④从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．

答案　④

解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

5．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________．

答案　2(2k＋1)

解析　当n＝k(k∈N*)时，

左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；

当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，

则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．

6．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝__________.

答案　

解析　由(S1－1)2＝S1·S1，得S1＝，

由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝，

依次得S3＝，S4＝，猜想Sn＝.

7．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．

答案　2k

解析　当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋<k；

当n＝k＋1时，要证的式子为1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<k＋1.

左边增加了2k项．

8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为______________________．

答案　f(2n)>(n≥2，n∈N*)

解析　因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．

9．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝ (n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．

(1)求过点P1，P2的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．

(1)解　由题意得a1＝1，b1＝－1，