2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷（附答案解析）

2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）

1．（3分）在，0，，这四个数中，最大的数是　　

A． B．0 C． D．

2．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为，数字2900000000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．（3分）若，则的值为　　

A． B．5 C．1 D．

4．（3分）函数的自变量的取值范围是　　

A． B． C． D．

5．（3分）已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是　　

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

7．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是　　

A．平均分 B．方差 C．中位数 D．极差

8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为，则圆锥与圆柱的体积的比为　　

A． B． C． D．

9．（3分）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为　　

A．或 B．15

C． D．

10．（3分）如图，在边长为2的正方形中，，分别为与的中点，一个三角形沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点恒在直线上，当点运动到线段的中点时，点，恰与，两边的中点重合，设点到的距离为，三角形与正方形的公共部分的面积为．则当时，的值为　　

A．或 B．或 C． D．或

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11．（3分）点关于轴的对称点的坐标为　　．

12．（3分）分解因式：　　．

13．（3分）一个周长为的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为　　．

14．（3分）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则　　．

15．（3分）两个人做游戏：每个人都从，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为　　．

16．（3分）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为　　．

17．（3分）已知关于的一元二次方程：，有下列结论：

①当时，方程有两个不相等的实根；

②当时，方程不可能有两个异号的实根；

③当时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

以上4个结论中，正确的个数为　　．

18．（3分）如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为　　．

三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（4分）计算：．

20．（4分）先化简，再求值：，其中．

21．（5分）解方程：．

22．（6分）如图，，为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点，从建筑物的顶点测得点的俯角为，从建筑物的顶点测得点的俯角为，测得建筑物的顶点的俯角为．若已知建筑物的高度为20米，求两建筑物顶点、之间的距离（结果精确到，参考数据：，．

23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的，满足关系式．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．

（1）求问题中的总体和样本容量；

（2）求，的值（请写出必要的计算过程）；

（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）

24．（7分）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）若，，且，求的长．

25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．

（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．

26．（8分）如图，反比例函数与一次函数的图象在第二象限的交点为，在第四象限的交点为，直线为坐标原点）与函数的图象交于另一点．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点，的面积为6．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点，的坐标和的面积．

27．（9分）如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

28．（9分）如图，抛物线与轴交于，两点在的右侧），且经过点和点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；

（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）

【试题答案】

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）

1．C

【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得

，

在这四个数中，最大的数是．

2．B

【解答】解：2900000000用科学记数法表示为．

3．A

【解答】解：，

，，

解得：，，

故．

4．C

【解答】解：根据题意可得：，

解得：．

5．B

【解答】解：①中，，故，故①符合题意；

②中，，故，故②不符合题意；

③中，，故，故③不符合题意；

④中，，故，故④符合题意．

6．B

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

“1”与“6”是相对面，

“5”与“2”是相对面，

“3”与“4”是相对面．

7．C

【解答】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，

因此中位数不变．

8．D

【解答】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为，圆锥的高为，则圆柱的高为，

所以圆锥与圆柱的体积的比．

9．A

【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；

当3，4为直角边，；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：，

故；

当6，8为直角边，；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：，

故．

10． Ａ

【解答】解：如图1中，当过在正方形内部时，连接交于，连接，设交于，交于．

由题意，是等腰直角三角形，，，

，

，

，

，

．

如图2中，当点在正方形外部时，

由题意，重叠部分是六边形，，

，

解得，

，

综上所述，满足条件的的值为或．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11．

【解答】解：点关于轴的对称点的坐标为．

12．

【解答】解：原式

．

13． 8

【解答】解：如图，点、分别是、的中点

．

同理可得：

，，

．

则三条中位线构成的三角形的周长为．

14．

【解答】解：，，，

，

．

15．

【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，

所以两人所写整数的绝对值相等的概率．

16． 440

【解答】解：观察图形可知：

第1个图需要黑色棋子的个数为：；

第2个图需要黑色棋子的个数为：；

第3个图需要黑色棋子的个数为：；

第4个图需要黑色棋子的个数为：；

发现规律：

第个图需要黑色棋子的个数为：；

所以第20个图需要黑色棋子的个数为：．

17． 3

【解答】解：，

△，

①当时，△，方程有两个不相等的实根，故①正确，

②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误，

③方程的根为，

，

方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，

④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

则有，

，故④正确．

18．

【解答】解：是等边三角形，

，，

在和中，

，

，

，

，

，

点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的弧，

如图，

此时，，

所以弧的长为：．

则点的运动路径的长度为．

故答案为：．

三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．【分析】原式第一项绝对值计算，第二项利用零指数幂的法则计算，第三项利用负指数幂的法则计算，计算即可得到结果．

【解答】解：

．

20．【分析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可．

【解答】解：原式

，

当时，原式．

21．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．

【解答】解：方程的两边同乘，得：，

解这个方程，得：，

经检验，是原方程的解，

原方程的解是．

22．【分析】在中，根据等腰直角三角形的性质求得，在中，根据正弦函数求得，在中，根据正弦函数求得．

【解答】解：，，

，

，

，

在中，，

作于，

由题意得，，

，

在中，，

，

，

在中，，，，

，

（米，

答：两建筑物顶点、之间的距离约为35米．

23．【分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可得问题中的总体和样本容量；

（2）根据表格所给数据先求出的有4人，的有16人，再根据，，即可求出，的值；

（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人．

【解答】解：（1）1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，

40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量；

（2）由题意所给数据可知：

的有4人，

的有16人，

，

，

解得，，

（3）（人，

答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．

24．【分析】（1）在矩形中，为对角线的中点，可得，，可以证明可得，进而证明四边形为平行四边形；

（2）根据，可得四边形为菱形；根据，，，即可在中，根据勾股定理，求的长．

【解答】解：（1）证明：在矩形中，为对角线的中点，

，，

，，

在和中，

，

，

，

，

四边形为平行四边形；

（2）在矩形中，，

由（1）知：，

，

四边形为平行四边形，，

平行四边形为菱形，

，

在中，根据勾股定理，得

，

，

解得．

25．【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，根据总价单价数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合为正整数可得出最多购买甲种笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为元，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元，

依题意，得：，

解得：．

答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．

（2）设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，

依题意，得：，

解得：，

又为正整数，

可取的最大值为21．

设购买两种笔记本总费用为元，则，

，

随的增大而增大，

当时，取得最大值，最大值．

答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．

26．【分析】（1）由题意得，点与点关于原点对称，即，从而得出，进一步求出三角形的面积，求出的值即可；

（2）求出一次函数与轴的交点坐标，根据 计算结果即可．

【解答】解：（1）由题意得，点与点关于原点对称，即，

，

又的面积为6，

，

，（舍去），

反比例函数的关系式为；

（2）由可得一次函数，由题意得，

，解得，，，

又在第二象限，点在第四象限，

点，点，

（2）一次函数与轴的交点的坐标为，

．

27．【分析】（1）如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，，由三角形中位线定理可得，可证，可得结论；

（2）通过证明，可得，可得结论；

（3）由等腰三角形的性质可得，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求，由相似三角形的性质可得，即可求解．

【解答】证明：（1）如图，连接，

是直径，

，

又，

，，

，，

，

，

，

又是半径，

是的切线；

（2），

，

，，

，

，

，

又，

，

，

；

（3），，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

．

28．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）如图1中，过点作于，过点作于．利用平行线分线段成比例定理求出点的坐标，求出直线的解析式，构建方程组确定点的坐标，过点作轴交于，设则，再构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．

（3）求出或16时，自变量的值，利用图象法确定，的值即可．

【解答】解：（1）把，代入，

可得，

解得，

抛物线的解析式为．

（2）如图1中，过点作于，过点作于．

对于抛物线，令，得到，，解得或6，

，，

，

，，，

的面积与的面积之比为，

，

，

，

，

，

，

，

直线的解析式为，

由，解得或，

，

过点作轴交于，设则，

，

，

，

时，的面积最大，最大值为．

（3）对于抛物线，当时，，

解得，

当时，，解得或4，

观察图2可知：当或时，，

，或，或，，

或

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/18f5fc22b04e852458fb770bf78a6529657d354f.html