静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测
文科数学试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.抛物线的准线方程是 .
2．在等差数列word/media/image2_1.png（
）中，已知公差
word/media/image4_1.png，
word/media/image5_1.png，则
.
3. 已知圆锥的底面半径为4cm，高为cm，则这个圆锥的表面积是 cm2.
4.方程的解为 .
5.已知为第二象限角，且
，则
.
6.坐标原点关于直线
对称的点的坐标是 .
7.已知复数满足
，其中
为虚数单位，则
.
8.的展开式中项
的系数等于 . (用数值作答)
9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答)
10.经过直线与圆
的两个交点,且面积最小的圆的方程是 .
11.已知数列（
）中，
，当
时，
，则
.
12.在平面直角坐标系中，坐标原点
、点
，将向量
绕点
按逆时针方向旋转
后得向量
，则点
的横坐标是 .
13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，
，且△ABC的面积为
，则b = . (用数值作答)
14.在平面直角坐标系中，将直线
沿
轴正方向平移3个单位， 沿
轴正方向平移5个单位，得到直线
.再将直线
沿
轴正方向平移1个单位， 沿
轴负方向平移2个单位，又与直线
重合.则直线
与直线
的距离是 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15.设全集，则
= ( ) A．
B．
C．
D．
16.组合数
恒等于( )
A. B.
C.
D.
17.函数
的反函数是 ( )
A． B．
C． D．
18.下列四个命题中，真命题是 ( )
A．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线；
B．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线；
C．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线；
D．若a、b是异面直线, b、c是异面直线,则a、c是异面直线.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
word/media/image59_1.png为坐标原点，向量
word/media/image60_1.png，
word/media/image61_1.png，
word/media/image62_1.png,
word/media/image63_1.png.
(1)求证：word/media/image64_1.png；
(2) 若△ABC是等腰三角形，求x的值.
20.（本小题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在棱长为1的正方体
中，E为AB的中点.
(1)求三棱锥A--的体积；
(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.
李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？
22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分.
设P1和P2是双曲线上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O.
(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=；
(2)若双曲线的焦点分别为、
，点P1的坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为
，求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积.
23．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知定义在实数集R上的偶函数和奇函数
满足
.
(1)求与
的解析式；
(2)求证：在区间
上单调递增；并求
在区间
的反函数；
(3)设（其中m为常数），若
对于
word/media/image81_1.png恒成立，求m的取值范围.
静安区2015学年第一学期期末高三年级教学检测
文科数学试卷参考答案及评分标准 2016.01
说明：内容与理科相同
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 2．2025 3. 40；
4. 5.
6.
7. 8.
9. 13968
10. 11.
（
） 12.
13．2 14..
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15. A; 16. D; 17.C; 18.B
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．word/media/image59_1.png为坐标原点，向量
word/media/image60_1.png，
word/media/image61_1.png，
word/media/image62_1.png,
word/media/image63_1.png.
(1)求证：word/media/image64_1.png;
⑵ 若word/media/image92_1.png是等腰三角形，求x.
19． 解：⑴ ∵word/media/image93_1.png ， ∴
word/media/image94_1.png ，∴
word/media/image95_1.png 又
word/media/image96_1.png
∴ ∴
word/media/image98_1.png 。
（2）若word/media/image92_1.png是等腰三角形，则AB=BC，
word/media/image99_1.png
,所以
word/media/image101_1.png，
word/media/image102_1.png
word/media/image93_1.png，
word/media/image103_1.png
20. 如图，在棱长为1的正方体
中，E为AB。
（1）求三棱锥A--的体积；
（2）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值。
20.解（1）由三棱锥体积公式可得：
。
（2）延长DC至G，使CG= DC,连结BG、
，∴四边形EBGC是平行四边形.
∴BG∥EC. ∴
在
即异面直线BD1与CE所成角的余弦值是
21． 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？
20解法1：（1）设个月的余款为
，则
，
，
。。。。。。
，
=（元），
法2：，
一般的，，
构造，
，
。
方法3:用通过等比数列求和解决.
（2）194890-1000001.05=89890（元），
能还清银行贷款。
22． 双曲线上不同两点P1和P2，线段P1P2的中点为M，双曲线的中心为坐标原点O，直线P1P2不经过点O.
(1)若直线P1P2和直线OM的斜率存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=；
(2)若双曲线的焦点分别为、
，点P1坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为
，求四边形P1 F1P2F2的面积.
22(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为，代入双曲线
方程得：
.
设 P1坐标为，P2坐标为
，中点坐标为M (x,y),则
，
，
，所以，
，k1k2=
。
另解：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M (x,y),则且
（1）-（2）得：。
因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)0，
等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：
即 k1k2=。
（2）由已知得,求得双曲线方程为
，
直线P1 P2斜率为，
直线P1 P2方程为,
代入双曲线方程可解得(中点M坐标为
.
面积.
另解: 线段P1 P2中点M在直线上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为
,代入双曲线方程可得
,即
，解得
（
），所以
。面积
.
23． 已知定义在实数集R上的偶函数和奇函数
满足
.
（1）求与
的解析式；
（2）当时,求证
是递增函数,并求
的反函数
；
（3）设（其中m为常数），若
对于
word/media/image81_1.png恒成立，求m的取值范围.
23.解：（1）假设①，因为
是偶函数，
是奇函数
所以有，即
②
∵word/media/image155_1.png，
word/media/image156_1.png定义在实数集R上，
由①和②解得，
，
.
(2) ，当且仅当
,即
时等号成立.对于任意
,
,
因为,所以
,
,
,
,
从而,所以当
时,
递增.
设，则
,令
,则
.再由
解得
,即
.
因为（
），所以
,因此
的反函数
（3）∵在
单调递增，∴
.
∴对于
word/media/image183_1.png恒成立，
∴对于
恒成立，
令，则
，当且仅当
时，等号成立，且
所以在区间
上
单调递减，
∴，∴
为m的取值范围.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/18f5ce60905f804d2b160b4e767f5acfa1c783d1.html
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