2017-2018学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）

2017-2018学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

2．（5分）设 m∈R，命题“若 m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（　　）

A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则 m＞0

B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则 m≤0

C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则 m＞0

D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则 m≤0

3．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（　　）

A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0

C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0

4．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（　　）

A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）

5．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（　　）

A．=1 B．=1

C．=1 D．=1

6．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（　　）

A．相离 B．相交 C．外切 D．内切

8．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：

①若α∥β，则l⊥m；

②若l⊥m，则α∥β；

③若α⊥β，则l∥m；

④若l∥m，则α⊥β．

其中正确的命题个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（　　）

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

10．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（　　）

A． B． C． D．

11．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：

①对所求出的回归直线方程作出解释；

②收集数据（xi，yi），i=1，2，…，n；

③求线性回归方程；

④选用线性回归方程并求相关系数；

⑤根据所搜集的数据绘制散点图，确定存在线性关系．

若根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是（　　）

A．①②⑤③④ B．③②④⑤① C．②④③①⑤ D．②⑤④③①

12．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）

A． B．1 C．2 D．

13．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为ai，具体如下表所示：

在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题：（每小题5分，共20分）

14．（5分）程所表示的曲线是　 　．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）

15．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=　 　．

16．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　 　．

17．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=　 　．

三、解答题：

18．给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

19．某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

（1）请完成此统计表；

（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；

（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．

20．设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．

（1）求B的大小；

（2）求cosA+sinC的取值范围．

21．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

23．已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．

（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；

（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；

（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．

2017-2018学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

【分析】把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．

【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），

代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，

∴a=1，

故选：B．

【点评】本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．

2．（5分）设 m∈R，命题“若 m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（　　）

A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则 m＞0

B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则 m≤0

C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则 m＞0

D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则 m≤0

【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可．

【解答】解：命题的逆否命题为，若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则 m≤0，

故选：D．

【点评】本题主要考查四种命题的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．

3．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（　　）

A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0

C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是对任意的x∈R，2x＞0，

故选：D．

【点评】此题考查了命题的否定，熟练掌握含有量词的命题的否定是解本题的关键．

4．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（　　）

A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）

【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．

【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点

∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为

∴|a+1|≤2

∴﹣3≤a≤1

故选：C．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．

5．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（　　）

A．=1 B．=1

C．=1 D．=1

【分析】根据长轴长与短轴长的和为18，设出短轴2b，表示出长轴2a，然后根据焦点判断椭圆的位置和c，进而根据c2=a2﹣b2求出a2、 b2得出结果．

【解答】解：设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为2a，则2a+2b=18

又∵个焦点的坐标是（3，0），

∴椭圆在x轴上，c=3

∵c2=a2﹣b2

∴a2=25 b2=16

所以椭圆的标准方程为

故选：B．

【点评】此题考查学生会利用待定系数法求椭圆的标准方程，是一道基础题．学生做题时根基焦点判断椭圆的位置．

6．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．

【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；

α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；

∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．

故选：B．

【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．

7．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（　　）

A．相离 B．相交 C．外切 D．内切

【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．

【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1

圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2

∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|

∴两圆的位置关系是相交．

故选：B．

【点评】本题考查圆与圆的位置关系，是基础题．

8．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：

①若α∥β，则l⊥m；

②若l⊥m，则α∥β；

③若α⊥β，则l∥m；

④若l∥m，则α⊥β．

其中正确的命题个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．

【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．

②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．

③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．

④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；

故选：B．

【点评】本题主要考查直线，线面，面面位置关系的判断，属于概念题．

9．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（　　）

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k．即可判断出p是q的充分不必要条件．进而得出答案．

【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．

∴p是q的充分不必要条件．

则￢p是￢q的必要不充分条件．

故选：B．

【点评】本题考查了直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据已知中A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，我们求出B点位置所有基本事件对应的弧长，及满足条件AB长不超过半径的基本事件对应的弧长，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．

【解答】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，

则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，

其中满足条件AB的长度不超过半径长度的对应的弧长为•2πR，

则AB弦的长度不超过半径长度的概率P=．

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．

11．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：

①对所求出的回归直线方程作出解释；

②收集数据（xi，yi），i=1，2，…，n；

③求线性回归方程；

④选用线性回归方程并求相关系数；

⑤根据所搜集的数据绘制散点图，确定存在线性关系．

若根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是（　　）

A．①②⑤③④ B．③②④⑤① C．②④③①⑤ D．②⑤④③①

【分析】首先收集数据（xi，yi），i=1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后对所求出的回归直线方程作出解释．

【解答】解：对两个变量进行回归分析时，

首先收集数据（xi，yi），i=1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．

观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，

求相关系数，写出线性回归方程，

最后对所求出的回归直线方程作出解释；

故正确顺序是②⑤④③①

故选：D．

【点评】本题考查可线性化的回归分析，考查进行回归分析的一般步骤，是一个基础题，这种题目若出现在大型考试中，则是一个送分题目．

12．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）

A． B．1 C．2 D．

【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．

【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，

又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，

所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，

所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．

故选：C．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．

13．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为ai，具体如下表所示：

在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算表中8个数据的方差，我们从表中数据求出它们的平均数，然后代入方差公式，即可求解．

【解答】解：本题在算法与统计的交汇处命题，

考查了同学们的识图能力以及计算能力．

本题计算的是这8个数的方差，

因为

所以

故选：B．

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

二、填空题：（每小题5分，共20分）

14．（5分）程所表示的曲线是　椭圆的一部分　．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）

【分析】通过x的范围，然后两边平分化简求解即可．

【解答】解：方程，可得x≥0，方程化为：x2+4y2=1，（x≥0），

方程表示焦点坐标在x轴，y轴右侧的一部分．

故答案为：椭圆的一部分；

【点评】本题考查切线与方程的应用，椭圆方程的判断，注意x的范围，是易错题．

15．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=　2　．

【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．

【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，

圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，

故，

得|AB|=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．

16．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　[﹣2，2]　．

【分析】根据题意，原命题的否定“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．

【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，

则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，

只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．

故答案为：[﹣2，2]

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．

17．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=　　．

【分析】由椭圆的标准方程可得：c=4，设|PF1|=t1，|PF2|=t2，根据椭圆的定义可得：t1+t2=10，再根据余弦定理可得：t12+t22﹣t1t2=64，再联立两个方程求出t1t2=12，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积．

【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a=5，b=3，

∴c=4，

设|PF1|=t1，|PF2|=t2，

所以根据椭圆的定义可得：t1+t2=10①，

在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，

所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=（2c）2=64，

整理可得：t12+t22﹣t1t2=64，②

把①两边平方得t12+t22+2t1•t2=100，③

所以③﹣②得t1t2=12，

∴∠F1PF2=3．

故答案为：3．

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的几何性质与椭圆的定义，此题考查解三角形的有关知识点，以及考查学生的基本运算能力与运算技巧，此题属于中档题．

三、解答题：

18．给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

【分析】如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，进而得到答案．

【解答】解：当P为真时，a=0，或，

解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）

当Q为真时，△=1﹣4a≥0．

解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）

如果p∨q为真，p∧q为假，

即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）

当p真q假时，a∈（，4）

当p假q真时，a∈（﹣∞，0）

a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）

【点评】本题考查的知识是复合命题的真假，不等式恒成立，方程根的个数判断，难度中档．

19．某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

（1）请完成此统计表；

（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；

（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．

【分析】（1）利用分层抽样原理计算抽取的女生、男生和教师所抽取的人数，填表即可；

（2）根据表中数据计算女生、男生同意的概率，再计算男、女生同意的人数；

（3）用列举法计算所求的概率值．

【解答】解：（1）根据题意，填写被调查人答卷情况统计表如下：

男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

（2）由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是；

用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数为

105×+126×=105，

估计高二年级学生“同意”的人数为105人；

（3）设“同意”的两名学生编号为1，2，

“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，

选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），

（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），

（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；

其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），

（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），共8种满足题意；

则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为P=．

【点评】本题考查了分层抽样方法和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．

20．设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．

（1）求B的大小；

（2）求cosA+sinC的取值范围．

【分析】（1）由a=2bsinA．根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，由sinA≠0．即可得出．

（2）cosA+sinC=cosA+sin=sin．由△ABC为锐角三角形，知=﹣B＜A＜，

可得＜A+＜，即可得出．

【解答】解：（1）由a=2bsinA．

根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，sinA≠0．

故sinB=．

因△ABC为锐角三角形，故B=．

（2）cosA+sinC=cosA+sin=cosA+sin=cosA+cosA+sinA

=sin．

由△ABC为锐角三角形，知=﹣B＜A＜，

∴＜A+＜，

故＜sin＜，

＜＜．

故cosA+sinC的取值范围是．

【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性、和差公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【分析】（1）把a=1代入命题p，可得x的取值范围是{x|1＜x＜3}，命题q：分别利用因式分解解出不等式并取交集，可得x范围是{x|2＜x≤3}，p∧q为真即p真且q真；

（2）¬p是¬q的充分不必要条件，可转化为q是p的充分不必要条件，进而转化为两个集合间的真子集关系，列出不等式即可．

【解答】（1）当a＞0时，{x|x2﹣4ax+3a2＜0}={x|（x﹣3a）（x﹣a）＜0}={x|a＜x＜3a}，如果a=1时，则x的取值范围是{x|1＜x＜3}，而{x|x2﹣x﹣6≤0，且x2+2x﹣8＞0}={x|2＜x≤3}，

因为p∧q为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．故实数x的取值范围是{x|2＜x＜3}．

（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件．由（1）知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，易知a≤2且3≤3a，解得{a|1≤a≤2}．

故实数a的取值范围是{a|1≤a≤2}．

【点评】本题考查了二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．

（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=，PO=，由四棱锥P﹣ABCD的体积为，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．

【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，

∴AB⊥PA，CD⊥PD，

又AB∥CD，∴AB⊥PD，

∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，

∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，

∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，

∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，

∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，

由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，

∴VP﹣ABCD=

====，

解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，

∴PB=PC==2，

∴该四棱锥的侧面积：

S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC

=+++

=

=6+2．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

23．已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．

（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；

（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；

（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．

【分析】（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，证明直线l恒过定点P（3，1）．

（Ⅱ）P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，由，能证明直线l与圆C相交．

（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有kl•kPC=﹣1，由此能出m的值．

【解答】（本题满分12分）解：

证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，

由，得，

∴直线l恒过定点P（3，1）． …（4分）

（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，

∴，

∴P点在圆C内部，

∴直线l与圆C相交．…（8分）

解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有kl•kPC=﹣1，

而，kPC=﹣，

∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）

【点评】本题考查直线直线过定点的证明，考查直线与圆相交的证明，考查实数值的求法，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

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