2019年山东省东营市中考数学试卷

2019年山东省东营市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．

1．（3分）﹣2019的相反数是（　　）

A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．3x3﹣5x3＝﹣2x B．8x3÷4x＝2x

C．＝ D．+＝

3．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（　　）

A．75° B．90° C．105° D．115°

4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

5．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

6．（3分）从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a2+b2＞19的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝3，CG＝2，则CF的长为（　　）

A． B．3 C．2 D．

8．（3分）甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（　　）

A．乙队率先到达终点

B．甲队比乙队多走了126米

C．在47.8秒时，两队所走路程相等

D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢

9．（3分）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（　　）

A．3 B． C．3 D．3

10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④

二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．

11．（3分）2019年1月12日，“五指山”舰正式入列服役，是我国第六艘071型综合登陆舰艇，满载排水量超过20000吨，20000用科学记数法表示为　 　．

12．（3分）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝　 　．

13．（3分）东营市某中学为积极响应“书香东营，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如表所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是　 　．

14．（3分）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是　 　．

15．（4分）不等式组的解集为　 　．

16．（4分）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是　 　．

17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是　 　．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为　 　．

三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（8分）（1）计算：（）﹣1+（3.14﹣π）0+|2﹣|+2sin45°﹣；

（2）化简求值：（﹣）÷，当a＝﹣1时，请你选择一个适当的数作为b的值，代入求值．

20．（8分）为庆祝建国70周年，东营市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；

（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是2．

（1）求m、n的值；

（2）求直线AC的解析式．

23．（8分）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？

24．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α＝0°时，＝　 　；②当α＝180°时，＝　 　．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．

25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年山东省东营市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．

1．（3分）﹣2019的相反数是（　　）

A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．

故选：B．

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．3x3﹣5x3＝﹣2x B．8x3÷4x＝2x

C．＝ D．+＝

【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式除以单项式、分式的约分、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、3x3﹣5x3＝﹣2x3，故此选项错误；

B、8x3÷4x＝2x2，故此选项错误；

C、＝，正确；

D、+无法计算，故此选项错误．

故选：C．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式除以单项式、分式的约分、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（　　）

A．75° B．90° C．105° D．115°

【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．

【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，

∴∠FCA＝∠A＝30°．

∵∠F＝∠E＝45°，

∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．

故选：A．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

5．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】设这个队胜x场，负y场，根据在10场比赛中得到16分，列方程组即可．

【解答】解：设这个队胜x场，负y场，

根据题意，得．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．

6．（3分）从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a2+b2＞19的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与a2+b2＞19的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a2+b2＞19的有4种结果，

∴a2+b2＞19的概率是＝，

故选：D．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝3，CG＝2，则CF的长为（　　）

A． B．3 C．2 D．

【分析】利用线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，再证明BF＝CF，则CF为斜边AB上的中线，然后根据勾股定理计算出AB，从而得到CF的长．

【解答】解：由作法得GF垂直平分BC，

∴FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，

∵∠ACB＝90°，

∴FG∥AC，

∴BF＝CF，

∴CF为斜边AB上的中线，

∵AB＝＝5，

∴CF＝AB＝．

故选：A．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．

8．（3分）甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（　　）

A．乙队率先到达终点

B．甲队比乙队多走了126米

C．在47.8秒时，两队所走路程相等

D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢

【分析】根据函数图象所给的信息，逐一判断．

【解答】解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率先到达终点，本选项错误；

B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，本选项错误；

C、由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均无174米，本选项正确；

D、由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，本选项错误；

故选：C．

【点评】本题考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

9．（3分）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（　　）

A．3 B． C．3 D．3

【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路程．

【解答】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．

设∠BAB′＝n°．

∵＝4π，

∴n＝120即∠BAB′＝120°．

∵E为弧BB′中点，

∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，

∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3，

∴最短路线长为3．

故选：D．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维．

10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④

【分析】①由正方形证明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得结论；

②证明点O、E、C、F四点共圆，得∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，进而得OGE∽△FGC便可；

③先证明S△COE＝S△DOF，∴便可；

④证明△OEG∽△OCE，得OG•OC＝OE2，再证明OG•AC＝EF2，再证明BE2+DF2＝EF2，得OG•AC＝BE2+DF2便可．

【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，

∵∠MON＝90°，

∴∠COM＝∠DOF，

∴△COE≌△DOF（ASA），

故①正确；

②∵∠EOF＝∠ECF＝90°，

∴点O、E、C、F四点共圆，

∴∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，

∴OGE∽△FGC，

故②正确；

③∵△COE≌△DOF，

∴S△COE＝S△DOF，

∴，

故③正确；

④）∵△COE≌△DOF，

∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∴∠OEG＝∠OCE＝45°，

∵∠EOG＝∠COE，

∴△OEG∽△OCE，

∴OE：OC＝OG：OE，

∴OG•OC＝OE2，

∵OC＝AC，OE＝EF，

∴OG•AC＝EF2，

∵CE＝DF，BC＝CD，

∴BE＝CF，

又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，

∴BE2+DF2＝EF2，

∴OG•AC＝BE2+DF2，

故④错误，

故选：B．

【点评】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用．解题时注意：全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例．

二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．

11．（3分）2019年1月12日，“五指山”舰正式入列服役，是我国第六艘071型综合登陆舰艇，满载排水量超过20000吨，20000用科学记数法表示为　2×104　．

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

【解答】解：20000用科学记数法表示为2×104．

故答案是：2×104．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝　（x﹣1）（x﹣3）　．

【分析】原式变形后，提取公因式即可．

【解答】解：原式＝x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝（x﹣1）（x﹣3），

故答案为：（x﹣1）（x﹣3）

【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．（3分）东营市某中学为积极响应“书香东营，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如表所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是　1　．

【分析】由统计表可知总人数为52，得到中位数应为第26与第27个的平均数，而第26个数和第27个数都是1，即可确定出中位数为1．

【解答】解：由统计表可知共有：12+22+10+5+3＝52人，中位数应为第26与第27个的平均数，

而第26个数和第27个数都是1，则中位数是1．

故答案为：1．

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．

14．（3分）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是　6　．

【分析】作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BD，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，

∴BD＝DC，

在Rt△ABD中，∠B＝30°，

∴AD＝AB＝，

由勾股定理得，BD＝＝3，

∴BC＝2BD＝6，

∴△ABC的周长为：6+2+2＝6+4，

故答案为：6+4．

【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

15．（4分）不等式组的解集为　﹣7≤x＜1　．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，

解不等式≤，得：x≥﹣7，

则不等式组的解集为﹣7≤x＜1，

故答案为：﹣7≤x＜1．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16．（4分）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是　　．

【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．

【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，

∴MN＝AB，

∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，

连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，

∵AB′是⊙O的直径，

∴∠ACB′＝90°．

∵∠ABC＝45°，AC＝5，

∴∠AB′C＝45°，

∴AB′＝＝＝5，

∴MN最大＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．

17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是　（）　．

【分析】设CE和x轴交于H，根据等边三角形的性质可知CH＝1，根据勾股定理即可求出AH的长，再根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质可求DH、AO的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．

【解答】解：如图，

∵△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，

∴CH＝1，

∴AH＝，

∵∠ABO＝∠DCH＝30°，

∴DH＝AO＝，

∴OD＝﹣﹣＝，

∴点D的坐标是（，0）．

故答案为：（，0）．

【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、含30°的直角三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为　﹣31009　．

【分析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，每四个点符号为一个周期，依此规律即可得出结论．

【解答】解：由题意可得，

A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，

可得A2n+1的横坐标为（﹣3）n

∵2019＝2×1009+1，

∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，

故答案为：﹣31009．

【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．

三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（8分）（1）计算：（）﹣1+（3.14﹣π）0+|2﹣|+2sin45°﹣；

（2）化简求值：（﹣）÷，当a＝﹣1时，请你选择一个适当的数作为b的值，代入求值．

【分析】（1）分别计算负指数幂、零次幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减法；

（2）先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．

【解答】解：（1）原式＝2019+1++2×﹣2

＝2020+2﹣+﹣2

＝2020；

（2）原式＝•

＝

＝，

当a＝﹣1时，取b＝2，

原式＝＝1．

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．

20．（8分）为庆祝建国70周年，东营市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；

（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．

【分析】（1）根据抽取的报名“书法”类的人数有20人，占整个被抽取到学生总数的10%，得出算式即可得出结果；

（2）由抽取的人数乘以报名“绘画”类的人数所占的比例得出报名“绘画”类的人数；补全条形统计图即可；

（3）用360°乘以“声乐”类的人数所占的比例即可；

（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，画出树状图，即可得出答案．

【解答】解：（1）∵被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有20人，

占整个被抽取到学生总数的10%，

∴在这次调查中，一共抽取了学生为：20÷10%＝200（人）；

（2）被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为：200×17.5%＝35（人），

报名“舞蹈”类的人数为：200×25%＝50（人）；

补全条形统计图如下：

（3）被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为70人，

∴扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：×360°＝126°；

（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，

画树状图如图所示：

共有16个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有4个，

∴小东和小颖选中同一种乐器的概率为＝．

【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．

【解答】（1）证明：连接OC．

∵AC＝CD，∠ACD＝120°，

∴∠A＝∠D＝30°．

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A＝30°．

∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A＝30°，

∴∠COB＝2∠A＝60°．

∴S扇形BOC＝，

在Rt△OCD中，CD＝OC，

∴，

∴，

∴图中阴影部分的面积为．

【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是2．

（1）求m、n的值；

（2）求直线AC的解析式．

【分析】（1）根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B（2，a），由于BC⊥x轴，所以C（2，0），先利用三角形面积公式得到×2×a＝2，解得a＝2，则可确定A（﹣2，2），然后把A点坐标代入y＝mxy＝mx和y＝中即可求出m，n；

（2）根据待定系数法即可得到直线AC的解析式．

【解答】解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣2，a）、B两点，

∴点A与点B关于原点中心对称，

∴B（2，﹣a），

∴C（2，0）；

∵S△AOC＝2，

∴×2×a＝2，解得a＝2，

∴A（﹣2，2），

把A（﹣2，2）代入y＝mx和y＝得﹣2m＝2，2＝，解得m＝﹣1，n＝﹣4；

（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∵直线AC经过A、C，

∴，解得

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象的性质．

23．（8分）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？

【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，

依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，

整理，得：x2﹣360x+32400＝0，

解得：x1＝x2＝180．

180＜200，符合题意．

答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α＝0°时，＝　　；②当α＝180°时，＝　　．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．

【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．

（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AV的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．

【解答】解：（1）①当α＝0°时，

∵Rt△ABC中，∠B＝90°，

∴AC＝＝＝2，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，

∴＝．

②如图1﹣1中，

当α＝180°时，

可得AB∥DE，

∵＝，

∴＝＝．

故答案为：①，②．

（2）如图2，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

又∵＝＝，

∴△ECA∽△DCB，

∴＝＝．．

（3）①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，

在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，

∴BE＝＝＝1，

∴AE＝AB+BE＝5，

∵＝，

∴BD＝＝．

②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，

易知BE＝1，AE＝4﹣1＝3，

∵＝，

∴BD＝，

综上所述，满足条件的BD的长为或．

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；

（2）连接OP，由S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP，可得出关于P点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标；

（3）连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．求出直线AM的解析式，再由△ADE∽△AOC，求出点E的坐标，求出直线DE的解析式，则由AM、DE两直线的交点可求得G点坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；

（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），

∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP

＝+，

＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，

＝﹣x2﹣4x+12，

＝﹣（x+2）2+16．

∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，

∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，

此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．

因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．

（3），

∴顶点M（﹣1，﹣）．

如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），

∴，

∴直线AM的解析式为y＝﹣3．

在Rt△AOC中，＝2．

∵D为AC的中点，

∴，

∵△ADE∽△AOC，

∴，

∴，

∴AE＝5，

∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，

∴E（﹣3，0），

由图可知D（1，﹣2）

设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，

∴，

解得：，

∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．

∴，

解得：，

∴G（）．

【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题．理解坐标与图形性质；会运用数形结合思想解决数学问题．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2019/8/7 0:07:17；用户：初中数学；邮箱：138********；学号：26522812

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1266a09e6d175f0e7cd184254b35eefdc9d3152b.html