向量的定比分点公式运用

补充知识1： 向量的定比分点公式

第五讲 等和线

1.等和线

平面内一组基底OA, OB 及任一向量OP,OP = λOA + μOB (λ, μ∈ R ) ，若点 P在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则λ+ μ= k (定值) ,反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线成为等和线.

①当等和线恰为直线 AB 时， k = 1 ；

②当等和线在O 点和直线 AB 之间时， k ∈ (0,1) ；

③当直线 AB 在O 点和等和线之间时， k ∈ (1, +∞) ；

④当等和线过O 点时， k = 0 ；

⑤若两等和线关于O 点对称，则定值 k 互为相反数；

⑥定值 k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；

2.等和线定理应用背景:

在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.

例1　（2017新课标Ⅲ）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为

A．3 B． C． D．2

例2　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

例3　(2018·杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为______．

答案　

1.(2018·菏泽一诊)如图,在扇形OAB中, ,C为弧AB上的一个动点．若,则的取值范围是 ．

2.(2018·合肥一诊)如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于

3.如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，，则的最小值是 .

4.已知向量满足，， ，若M为线段AB的中点，并且，则的最大值是（  ）。

A:  B:  C:  D: 1

5.如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________.

6.（2013安徽卷9）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是

（A） （B）

（C） （D）

7.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则的取值范围是（　　）

A  B. C. D.

补充知识2： 极化恒等式

1.极化恒等式：

在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：

定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是的中线，则

定理2 （极化恒等式的三角形模式）在中，若M是BC的中点，则有

例1　（2017新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A． B． C． D．

例2　【2018届江苏省苏锡常镇四市高三调研（二）】如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．

例3　(2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．

1.在中，若，，在线段上运动，的最小值为

2.已知是圆的直径, 长为2, 是圆上异于的一点, 是圆所在平面上任意一点,则的最小值为____________

3．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为

4． 若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是 .

5．在，，已知点是内一点，则的最小值是 .

6.已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

7. 正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

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