湖南省郴州市苏仙区九年级数学上册 第5讲 根的判别式培优（无答案）（新版）湘教版

第5讲 一元二次方程根的判别式

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一、 知识点与典型例题

1、一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式 △=

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

△=﹥0方程有两个不相等的实数根；

△==0方程有两个相等的实数根；

△=﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。

【例】不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）；（2）；（3）

2、根的判别式的逆用

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0

（2）方程有两个相等的实数根=0

（3）方程没有实数根﹤0

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

【例1】为何值时，方程的根满足下列情况：

（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；

【例2】关于x的一元二次方程k x 2＋(2k＋1) x＋(k－1)＝0有实数根，求k的取值范围．

【例3】已知方程没有实数根，化简：＋|2－a|

二、课堂练习：

1．如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）

A．k＜ B．k＜且k≠0

C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0

2．已知关于x的方程kx2＋（1－k）x－1=0，下列说法正确的是（　　 ）

A．当k=0时，方程无解

B．当k=1时，方程有一个实数解

C．当k=－1时，方程有两个相等的实数解

D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

3．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=8，若关于x的方程x2＋（b－2）x＋b－1=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长为（　 　）

A．12或18 B．16或20 C．12或16 D．18或20

4.（第8届祖冲之杯竞赛题）如果方程(m＋2)x2－2(m＋1)x＋m＝0只有一个实数根，那么方程(m＋ 1)x2－2mx＋m－2＝0 ( )

A．没有实数根 B．有2个不同的实数根

C．有2个相等的实数根 D．实数根的个数不能确定

5．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

6．（重庆市竞赛题）设方程|x2＋ax|＝4只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．

三、课后作业：

1．（1995年广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛题）如果正数a、b、c满足b> a＋c，那么

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是 ( )

A．有2个不相等的实根 B．有2个相等的实根

C．没有实根 D．无法确定有无实根

2．（1997年哈尔滨市竞赛题）使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（1996年四川省联赛题）若方程x2－(a－3)x－3a－b2＝0有两个等根，则方程x2＋ax＋b＝0的

两根分别是 ( )

A．0，3 　　 B．0，－3 　　 C．1，4 　　 D．1，－4

4．（2000年广西竞赛题）下列方程中有实数根的方程是 ( )

A． x2 ＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0

C．＝0 D．－x2＋x＋l＝0

5．(1998年山东省竞赛题)方程|x|－＝的实根的个数为 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4

6.（1997年江苏省初中数学竞赛题）已知a、b、c是不全为0的3个实数，那么关于x的一元二次方程x2＋(a＋b＋c)x＋(a2＋b2＋c2)＝0的根的情况是( )

A．有2个负根 　　　 　 B．有2个正根

C．有2个异号的实根 　　　　　 D．无实根

7.(1)（广西中考题）已知关于x的一元二次方程(l－2k)x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．

(2)（2004年四川省竞赛题）关于x的方程x3－ax2－2ax＋a2－1＝0只有一个实数根，则a的取值范围是 ．

8．（2002年广西竞赛题）如果对于任何实数x，分式总有意义，那么c的取值范围是 ．

9．（2004年全国竞赛题）实数x、y、z满足x＋y＋z＝5，xy＋yz＋zx＝3，则z的最大值是 ．

10．（江苏省第19届竞赛题）设m为整数，且关于x的方程mx2＋2(m－5)x＋m－4＝0有整数根，则m的值为 ．

11．（1998年广西竞赛题）已知关于x的方程(a＋1)x2＋4ax＋9＝0的根有且只有一个值，则实数a＝ ．

12．(江苏省第21届竞赛题)设关于x的一元二次方程x2＋2kx＋－k＝0有两个实根，则k的取值范围为 ．

11.（2000年江苏省初中数学竞赛题）若关于x的方程－＝

只有1个解，试求k的值与方程的解．

12.（1 997年山东省初中数学竞赛题）设a，b，c为互不相等的非零实数．

求证：3个方程 ax2＋2bx＋c＝0 ① bx2＋2cx＋a＝0 ② cx2＋2ax＋b＝0 ③中

不可能有2个方程有相等的实数根．

13．（1997年上海市竞赛题）已知关于x的方程＋＝无解，这里实数a，b满足a≠b，ab≠0，求＋的值．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/116ee8a4a48da0116c175f0e7cd184254b351bee.html