课时分层训练(二十) 三角函数的图像与性质
(对应学生用书第页)
组 基础达标
一、选择题
．函数＝的定义域为( )
【导学号：】
(∈)
(∈)
．
[由 －≥，得 ≥，所以π－≤≤π＋，∈.]
．(·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( )
．＝ ．＝
．＝ ．＝ ＋
[＝为偶函数；＝ 的周期为；＝ ＋ 为非奇非偶函数，故、、都不正确，选.]
．已知函数()＝ ＋ 的图像关于直线＝对称，则实数的值为( )
．－ ．－
[由＝是()图像的对称轴，
可得()＝，
即 ＋ ＝＋，
解得＝－.]
．已知函数()＝－(ω＞)的最小正周期为，则()的图像的一条对称轴方程是( )
．＝ ．＝
．＝ ．＝
[依题意，得＝，ω＝，又ω＞，所以ω＝，令＋＝π＋(∈)，解得＝＋(∈)，当＝时，＝.因此，函数()的图像的一条对称轴方程是＝.]
．已知ω＞，函数()＝在上单调递减，则ω的取值范围可以是( )
．(]
[由＜＜π，ω＞得ω＋＜ω＋＜πω＋，由题意结合选项，令⊆，所以所以≤ω≤.]
二、填空题
．已知()＝，∈[，π]，则()的单调递增区间为.
【导学号：】
[由－＋π≤＋≤＋π，∈，得－＋π≤≤＋π，∈.又∈[，π]，所以()的单调递增区间为.]
．(·兰州模拟)已知下列函数：
①()＝；
②()＝；
③()＝；
④()＝.
其中，最小正周期为π且图像关于直线＝对称的函数的序号是．
②[③中函数()＝的最小正周期为π，故③错误．将＝分别代入①②④中，得其函数值分别为，，因为函数＝ 在对称轴处取得最值，故①④错误，②正确．]
．函数＝的图像与轴交点的坐标是．
，∈[由＋＝π(∈)得，＝－(∈)，
所以函数＝的图像与轴交点的坐标是，∈.]
三、解答题
．已知函数()＝·－(＋π)．
()求()的最小正周期；
()若将()的图像向右平移个单位长度，得到函数()的图像，求函数()在区间[，π]上的最大值和最小值．
[解]()()＝·－(＋π)
＝ ＋ ＝，
于是＝＝π.
()由已知得()＝＝.
∵∈[，π]，∴＋∈，
∴∈，
∴()＝∈[－]．
故函数()在区间[，π]上的最大值为，最小值为－.
．已知函数()＝( ＋ )＋ .
()求()的最小正周期；
()求()在区间上的最大值和最小值．
[解]()因为()＝＋＋ · ＋ ＝＋ ＋ ＝＋，
所以函数()的最小正周期为＝＝π.
()由()的计算结果知，()＝＋.
当∈时，＋∈，由正弦函数＝ 在上的图像知，当＋＝，即＝时，()取最大值＋；
当＋＝，即＝时，()取最小值.综上，()在上的最大值为＋，最小值为.
组 能力提升
．(·郑州二次质量预测)将函数()＝－ 的图像向右平移个单位后得到函数()，则()具有性质( )
．最大值为，图像关于直线＝对称
．在上单调递减，为奇函数
．在上单调递增，为偶函数
．周期为π，图像关于点对称
[由题意得函数()＝－＝－ ，易知其为奇函数，由－＋π＜＜＋π，∈得－＋π＜＜＋π，∈，所以函数()＝－ 的单调递减区间为，∈，所以函数()＝－ 在上单调递减，故选.]
．(·安徽江南十校联考)已知函数()＝(ω＋φ)的最小正周期为π，且任意∈，有()≤成立，则()图像的一个对称中心坐标是( )
[由()＝(ω＋φ)的最小正周期为π，得ω＝.因为()≤恒成立，所以()＝，即×＋φ＝＋π(∈)，
由φ＜，得φ＝，故()＝.
令＋＝π(∈)，得＝π－(∈)，
故()图像的对称中心为(∈)，
当＝时，()图像的对称中心为.]
．若函数()＝(ω＞)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图像关于点()成中心对称，∈，则＝.
【导学号：】
[由题意得＝，＝π，ω＝.又＋＝π(∈)，＝－(∈)，而∈，所以＝.]
．(·天津高考)已知函数()＝ ·－.
()求()的定义域与最小正周期；
()讨论()在区间上的单调性．
[解] ()()的定义域为.
()＝ －
＝ －
＝ －
＝ ＋－
＝ ＋(－ )－
＝ － ＝.
所以()的最小正周期＝＝π.
()令＝－，则函数＝ 的单调递增区间是，∈.
由－＋π≤－≤＋π，
得－＋π≤≤＋π，∈.
设＝，
＝，易知∩＝.
所以，当∈时，()在区间上单调递增，在区间上单调递减．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0f88e756534de518964bcf84b9d528ea80c72f56.html
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