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数学文化课程论文1最终

发布时间：2018-01-08 20:20:08 来源：文档文库

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数学文化课程报告

论文题目：微积分的创立及其对近现代科学发展的影响

学期 2017—2018-1

专业班级石油工程（卓越）1609

姓名王春起

学号 1602010727

成绩________________________

微积分的创立及其对近现代科学发展的影响

摘要：微积分的产生是数学史上的伟大创造。恩格斯说过：“在一切理论成就中，未有象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”[1]微积分的创立凝结了牛顿、莱布尼茨、欧拉等人的毕生努力，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法本文首先介绍微积分的创立的背景及为此做出过贡献的数学家，然后是微积分的创立发展过程，最后介绍微积分创立后在科学、社会、工业、航空等方面应用，及产生的影响。

关键词：微积分创立发展科学意义

引言：对于微积分的概念我们并不陌生，从最基本的几何体积、图形面积的推导，到刘徽“割圆求周”的割圆术、祖冲之割圆术的思想计算圆周率，再到庄子的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”[庄子-天下]。这些都是运用了微元的思想，可以说是微积分创立的思想来源。西方早在欧几里德、阿基米德时代就有了将复杂的立体分成若干个薄片，然后结合杠杆定理进行体积求解的方法，被称为阿基米德方法。微元的思想是微积分最初的存在形式，直到牛顿、莱布尼茨等人将其总结成微积分的基本思想。自从微积分创立后，就是与应用联系着发展起来的，牛顿利用微积分学及微分方程从万有引力推导出开普勒行星运动三定律。此后，微积分极大地推动了数学的发展，同时在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。　

1．微积分的创立

1．1微积分的创立背景

克莱因（M.Klein）认为：微积分的创立，首先是处于17世纪的两个主要科学问题，即有四种主要类型的问题有待用积分去解决。[2]

第一类：已知物体移动的距离表示为世间的函数公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示成时间的函数公式，求速度和距离。

第二类：求曲线的切线。

第三类：求函数的极大值和极小值。

第四类：求曲线的长度，曲线围成的面积等。

这些问题一直困扰着当时的科学界，首先对微积分进行研究的是开普勒和伽利略。开普勒用无数个无穷小之和计算面积，这是阿基米德方法的应用。伽利略奠定了实验和理论协调的近代科学精神，这对于微积分的形成是至关重要的。对于微积分产生重要思想影响的是意大利数学家卡瓦列里在1635年建立的不可分原理。原理可以表述为：“两同高的立体，如果在等高出的截面积恒相等，则他们的体积相等；如果截面面积成定比，则他们的体积之比等于截面积之比。”[1]依靠这一结论，他用几何方法巧妙地求出若干曲边图形的面积，还证明了旋转体的表面积公式及体积公式等。之后，在1637年法国的费马给出了一种求切线的方法，在文中得到了求最大值和最小值的方法，确定了多项式方程代表的曲线上的极大、极小和拐点。他还将这一方法用于求物体的重心、曲线的长度以及求旋转面的面积等各类问题，其工作被认为是“微积分新计算的第一发明人”。

在十七世纪至少有10位大数学家探索过微积分，而牛顿、莱布尼茨，则处于当时的顶峰。各自独立地创立了微积分。他们最大的功绩在于能够敏锐地从前人的各种“隔离形态中”洞察和清理出潜藏着的共性的东西——无穷小分析。

1．2牛顿的微积分

牛顿对于微积分的研究起源于他对笛卡尔圆法发生兴趣而开始寻找更好的切线求法。起初他的研究是静态的无穷小量方法，像费马那样把变量看成是无穷小元素的集合。1669年，他完成了第一篇有关微积分的沦文。论文中不仅给出了求瞬时变化率的一般方法，还证明了面积可由变化率的逆过程得到。而后牛顿研究变量流动生成法。并于1671年写成《流数法和无穷级数》。书中叙述了微积分基本定理，对微积分思想做了广泛而明确的说明，并最终完成了对初期微积分研究的修正和完善。

牛顿的面积求解方法是一种对传统思想的挑战，在牛顿之前面积被看作是无限小不可分量，而牛顿是利用面积的变化率通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，被牛顿揭示出来，建立了微积分普遍算法的基础。[3]在《流数简论》中，牛顿还将他建立的统一算法应用于求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积等问题中。后来牛顿又努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文：《分析学》、《流数法》、《求积术》。将自己的微积分理论推向顶峰。

1．3莱布尼茨的微积分

与牛顿同时代的一位数学家莱布尼茨同样创立了微积分，但是与牛顿不同的是莱布尼茨首先是出于对几何问题的思考。1637年，他提出了自己的“微分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地建立了大量的定理。1666年，莱布尼茨在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系。从1672年开始，他通过把曲线想象成一组无穷序列，得到了“求切线不过是求差，求面积不过是求和”的结论。这种方法正是现在我们在应用微积分解决问题时的思想。此外，莱布尼茨还引进了微积分的符号表示这种表示方法一直延续到今天，他用“dx”来表示相邻的x的值的差，1686年在他的第一篇积分论文《深奥的几何与不可分量及无限分析》中第一次使用“”作为积分的表示方法，他引进的符号体现了微分与积分的“差”与“积”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。

1. 4 微积分的基本内容

微积分包括微分学和积分学，微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等；积分主要包括：定积分、不定积分等。微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关的概念和应用的分支。它是数学的一个基础学科。现在已经发展成为一个不可或缺的工具性学科，在工程中得到了广泛的应用。使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。牛顿、莱布尼茨独立的创立微积分后，由于他们提出的“无限”的概念没有能够得到具有说服力的解释，最初的微积分学的理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，微积分这门学科才真正得以严密化。

2. 微积分的发展与应用

2. 1微积分的发展简述

微积分创立之后的十八世纪，微积分得到了持续的发展。刺激和推动了许多数学新分支的产生。由于应用于实际问题非常有效，以至于科学家们来不及解决微积分的一些基本概念、逻辑困难等问题，例如牛顿计算微积分时利用的无穷小量的分析时“O”的概念问题，这实质上是极限的概念问题。在当时，函数的概念基本上和分析表达式联系在一起，对于许多不能用公式表达的函数无论对实际应用还是微积分本身都很重要。为此，1755年欧拉给出了函数新的定义，法国数学家拉克鲁瓦给出分段函数形式，冲破了函数用解析式表达的模式。德国数学家黎曼给出了具有现代意义的函数的定义。微积分的理论基础——极限也在不断的严格化，捷克数学家波尔查诺第一次明确提出了极限是微积分的基础，柯西最终给出了极限的严格定义，他用极限的概念定义了无穷小，并通过极限定义了导数，通过导数定义了微分，用极限定义了函数的连续，并用和式极限定义了积分。19世纪70年代，维尔斯特拉斯、戴德金和康托尔分别创立了实数理论，并在此基础上建立了极限理论的基本定理和微积分基本定理，使得微积分形成一个完备的理论体系，克服了数学史上第二次数学危机。[4]

2.2微积分的应用

2.2.1在数学上的应用

微积分最初的创立就是从曲线的切线以及几何体的面积的求解思考中建立的，因此在数学上微积分首先被用于求解复杂几何体的面积（体积），利用微分思想将几何体分成无数个微元，再计算每个小微元的面积（体积），再根据莱布尼茨的和式极限积分得到整个几何体的面积（体积）。在柯西提出无穷小并由此定义的函数连续性后，微积分也被应用于判断函数的连续性和间断点类型问题。此外微分在多元函数求导积分的计算中得到了广发的应用。

随着数学学科的发展，一些新的分支也巧妙地应用到微积分的思想。例如，在线性代数中行列式的计算可以利用微积分的思想进行计算。主要思路是将所有行列式的某行或某列相等地改变为定积分，然后把定积分计算与行列式计算交换次序，从而把行列式的求值问题转化为被积函数中行列式的计算问题，只要被积函数中的行列式比所求的行列式简单就可以用此方法计算。此外，在数学证明不等式和求解方程方面也广泛应用。

现代数学数学的一个重要分支概率论中也广泛应用。通过引入概率密度函数，建立概率与的关系，此关系也可以用于分布函数与同时来表示： =，在的连续点上，对上述表达式求导，即得：。因此，概率论中连续型随机变量的相关问题从某种程度上转为了微积分问题。比如，连续型随机变量的概率，数学期望，方差等定义及其计算全部用微积分解决。[5]

2.2.2 微积分在物理学中的应用

牛顿在创立微积分之初，就是想求物体运动的过程中某一点的速度，在他的《自然哲学的数学原理》一书中，研究了匀变速运动，a为运价速度，是常数，S是路程的变量，t为时间变量，S是t的函数。对于这样的运动当0，则at。对于某一时刻有S1，S2， S2—S1= 。则。当时，为瞬时速度。[6]在牛顿的推导中用到了微积分的极限思想，虽然在当时的认知水平下没有很好的解释这样的数的意义和存在性，但是牛顿的这种先进的思想铸就了微积分在物理学中的运用。

在物理学中微积分还广泛应用于求变力做功问题，是利用了先微分再积分的思想，首先将变力写成关于位移的函数然后，将位移进行分割在美一小段中认为力的大小不变算出每一小段的元功，再进行积分得到变力做功的大小。此外，微积分还被广泛应用于求解液体对平面薄板的压力、转动惯量等问题。在近代物理学中微积分也发挥着重要的作用，在量子力学、相对论等理论中发挥着重要的作用。

2.3.3 微积分在经济学中的应用

在经济学中经常涉及成本、收益、利润等问题，解决这些问题与微积分有着密切联系。主要应用的三个方向是：函数导数的应用、一元函数定积分的应用、多元函数极值。其中，函数导数主要应用于求解边际系数、弹性系数、利润最大化等。一元函数定积分主要用于计算总量函数、用于计算消费者剩余等经济学问题。多元函数条件极值主要应用于求解经济学中求解消费者效用最大化的均衡条件、关于既定成本条件下的产量最大化。此外，经济领域中的很多类似的定量分析的问题均可采用微积分的方法进行求解，微积分在经济学中具有重要的作用。不仅如此，微积分的数学思想在经济学的抽象分析中可以简化问题，易于理解，对于金融学的发展具有重要的意义。

3．微积分对科学发展的影响

3.1 微积分的思想对于科学思维的影响

著名的数学物理学家傅里叶说：“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉”。很多经典的自然科学成果都与微积分思想有关，比如柯尼斯堡七桥问题引发了离散图论，热传导过程引发了傅里叶级数。[7]微积分亦是伟大的先驱牛顿和莱布尼茨等在研究各自领域问题时独立建立的理论，正是他们有了坚实的数学基础才，让他们冲破局限，提出一些令世人震惊的科学成果。特别是在微积分提出后对于后世的科学家的研究有着重要的影响。微积分的思想有助于科学思维的培养。

在大学中以高等数学为必修课程正是在培养大学生的科学思维，让学生通过对微积分的学习来了解其中蕴含着的思想，从而掌握科学的思维，学习在微积分创立过程中科学家们从思维方法的火花闪现到理论的初步形成之后不断完善的过程。微积分是在不断积累、不断创新中产生的，它的创立使得人们学会了超越旧认知，创造出新事物的意识和能力。

3.2 微积分的创立过程是状态与过程的统一

微积分自从被牛顿莱布尼茨创立后，使得一些以前科学家束手无策的问题得到了解决，展现出了微积分强大的威力，但是在人们应用过程中逐渐发现了微积分的理论不足之处，并提出质疑，由此引发了数学史上的第二次数学危机，最终经过康托尔等人建立的严密的数学实数集合理论将微积分的理论严密化。这种不断创新、敢于向权威提出挑战的思想是科学研究中所必不可少的。微积分的建立过程是数学这个学科自身的不断提出质疑补充而变得更加严密的过程，这也为其他学科的发展以启发作用。

4．结语

微积分的出现对于数学本身以及其他学科产生了巨大的影响。同时，微积分还广泛应用于工程实践、生物医学、力学、天文学、经济学等自然科学、社会科学中，为人类的发展作出了巨大贡献。