自招竞赛 数学讲义
轮换对称式的最值问题
知识定位
在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。
本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。
知识梳理
1. 不等式对称和轮换对称式的定义
在一个不等式中,若把其中任何两个字母对调位置后,这个不等式不变(如①
,其中
), 我们便称此不等式是关于
对称的。如果把不等式中的字母
按一定顺序依次轮换（如
换成
，
换成
，...，
换成
）后不等式不变（如②
），我们便称此类不等式是关于
轮换对称的。
2. 对称式与轮换对称不等式的性质
由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。
关于对称的不等式，由于
互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列
的大小顺序（如在①中可设
），而关于
是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大小顺序，而只能做较弱的排列，如
，
，...，
，即某一个是其中的最大或最小（如②中可设
，
），因为我们总可以通过轮换把某个字母调整到最小或最大的位置。
3. 取得最值的判定
暑期讲义轮换对称式一讲中我们提到，轮换对称式取到最值时往往各地位轮换对称的变量取值相等。在这种情况下我们可以简化问题为先判断最值和取到最值的条件，在转化为不等式证明问题（此时取等的条件也作为一个解决不等式证明的重要提示）。
当然，并不是所有轮换对称式取最值的条件都是上述，所以我们尽可能用特值等方法验证来舍弃显然不合理的假定，确认判断正确后再转化为证明问题，这样可以减少无用功。值得注意的是，判断各变量相等时取到的是最大还是最小值与题目要求比对是十分必要的。
4. 轮换对称式常见的处理方法（结合例题讲解）
（1） 凑项法（最常用）
在判断出最值后，利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，完全可以程式化证明一类不等式。主要细分为凑项降幂法、凑项升幂法、凑项去分母法、凑项平衡系数法。
基本思路：判断该题为轮换对称式；通过条件得出取最值时各字母或参数的值；判断是最大或最小值，抓住其中一项深入研究，构造均值不等式的其他项，再运用均值不等式加以证明。
上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。
（2） 求配偶式法（即（1）的进化版本）
当直接配凑较为困难时我们可以通过先设待定系数求解的方法找到要凑得项。充分利用轮换对称式等式的结构特点以及等号成立的条件为导向，运用待定系数法构造配偶式，然后运用均值不等式等号成立的条件以及所证轮换对称不等式等号成立的条件求出待定系数，从而使所证不等式获得证明。其中设配偶式求配偶因子是该方法的关键一步和核心部分，也是它与方法（1）的主要区别。
（3） “非常规最值”的应对方法
前几个方法中,首要是确认在各变量取值相等时取到最值，这类最值问题称为“常规最值”。然而并非所有的轮换对称式都满足这一要求，因而面对一些“非常规最值”问题，也有一些特定的其他方法，如：构造不等式法、导数法（没有例题，导数法结合主元思想是证明不等式、求最值很常规的一类方法，本节不再做说明）和图像法等。
例题精讲
【试题来源】
【题目】已知，且
，求
的最大值
【答案】
【解析】
猜想当时取得最大值， 此时
，最大值为
。
下证明：因为，所以
，同理
，
，上述三式相加，并将
代入化简即得证。
（本题也可以用琴生不等式易证得）
【知识点】轮换对称式 凑项升幂法
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
证明Cauchy不等式
【答案】（证明题）
【解析】
证明：设，则
，所以
，
即。
【知识点】轮换对称式 凑项降幂法
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
【试题来源】1990年第24届全苏数学奥林匹克
【题目】
设是正数，且
，
求的最小值
【答案】
【解析】
分析：由于当时等号成立，于是
。
下证：设，因为
所以，即
。
【知识点】轮换对称式 凑项去分母法
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】1995.IMO
【题目】
设，且
，求证：
【答案】（证明题）
【解析】
原不等式等价于
当a=b=c=1时等号成立，此时，所以，
，同理，
，
，上述三式相加并化简得
【知识点】轮换对称式 凑项去分母法
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
设，且
，求
的最小值。
【答案】1
【解析】
猜测时，最小值为1。
下证：令，由均值不等式得
，此不等式等号成立条件是
即
。又易知所证不等式等号成立的条件是
，此时
．于是有
，同理有
，
，将这三个不等式相加得，
。
又由均值不等式可得，，代入上式显然得证。
【知识点】轮换对称式 求配偶式法
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
若为小于1的正数且
，
且
，则
【答案】（证明题）
【解析】
证明：因，则
．令
，由均值不等式得
，此不等式等号成立的条件是
，即
．又易知所证不等式等号成立的条件是
，此时
，于是有
，即
，其中
，将这
个不等式相加得，
．
因为，所以
（均值不等式），即
，代入上述不等式化简得：
，即
．
【知识点】轮换对称式 求配偶式法
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
非负实数满足
，记
，求
的取值范围。
【答案】
【解析】
注：基本思路和前面两种方法雷同，也是知道取到最值时变量的取值条件之后特意构造两端取等的不等式来帮助证明。
【知识点】非常规最值-构造不等式法
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】2007女子数学奥林匹克（改编）
【题目】
非负实数满足
，
记，求
的最大值。
【答案】2
【解析】
发现当不是最大值。
【知识点】非常规最值-构造不等式法
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
【题目】
设角A、B、C满足
求：的最小值
【答案】
【解析】
分析：原条件等价于，猜测当
时最小值为
。下证：构造
，
，
上述三式相加并化简得证。
【知识点】轮换对称式 凑项去分母法
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
已知，求
的最小值。
【答案】
【解析】
时显然有min为
。
下证：设，则所求式可化为
，进而变为
，再令
，则
且
，所求式变为
，分离常数得
-3.
（换元使分子为常数，方便进一步的基本不等式）
构造，则此不等式等号成立的条件是
，即
．又易知所证不等式等号成立的条件是
，此时
，所以
，即
，同理可得
，
，将这三个不等式相加得，
，又
，所以
，故原不等式成立。
【知识点】轮换对称式 求配偶式法
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】1984年巴尔干地区数学竞赛题
【题目】
设且
，求证：
。
【答案】（证明题）
【解析】
证明：所证不等式即，也就是
，亦即
，也就是
，故只需证
．
构造，此不等式等号成立的条件是
，即
．又易知所证不等式等号成立的条件是
，此时
，于是有
，即
，其中
．将这
个不等式相加得，
，把
代入得
，故原不等式成立．
【知识点】轮换对称式 求配偶式法
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
设，
，则
。
【答案】（证明题）
【解析】
分析：当x=y=时等号成立。
证明：因为，
，
①，将上述三式相加并化简得，
②
所以，
即。
注：只有①式的系数凑成，②式中xy的系数才能是
。
【知识点】非常规最值-构造不等式法
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
非负实数满足
，
记，求
的最小值。
【答案】
【解析】
猜测端点处取最小值，最小值为
下证：
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【知识点】非常规最值-构造不等式/图像法
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】第19届北欧竞赛题
【题目】
设，求证：
【答案】（证明题）
【解析】
令，由均值不等式得
，此不等式等号成立条件是
即
．又易知所证不等式等号成立的条件是
，此时
．于是有
，同理有
，
，将这三个不等式相加化简即得所证不等式
．
【知识点】轮换对称式 凑项去分母法/求配偶式法
【适用场合】课后一个月
【难度系数】3
【试题来源】集训队
【题目】
非负实数满足
，证明
【答案】（证明题）
【解析】
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【知识点】非常规最值-图像法
【适用场合】阶段测验
【难度系数】4
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0f46745dbed5b9f3f90f1cbc.html
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