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浙江省杭州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题
1．设集合，
，则集合
（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用交集的运算律可得出集合。
【详解】
由题意可得，故选：A。
【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。
2．直线的斜率为（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率。
【详解】
将直线方程化为斜截式可得，因此，该直线的斜率为
，故选：A。
【点睛】
本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：
（1）若直线的倾斜角为且
不是直角，则直线的斜率
；
（2）已知直线上两点、
，则该直线的斜率为
；
（3）直线的斜率为
；
（4）直线的斜率为
.
3．函数的定义城是（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数的真数大于零这一原则得出关于的不等式，解出可得出函数的定义域。
【详解】
由题意可得，解得
，因此，函数
的定义域为
，
故选：C。
【点睛】
本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为”，考查计算能力，属于基础题。
4．在中，
，则
（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理计算出的值，于此可得出
的值。
【详解】
，
，
由余弦定理得，
，因此，
，故选：D。
【点睛】
本题考查利用余弦定理求角，解题时应该根据式子的结构确定对象角，考查计算能力，属于基础题。
5．一个空间几何体的三规图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图得知该几何体是四棱锥，计算出四棱锥的底面积和高，再利用锥体体积公式可得出答案。
【详解】
由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面是矩形，其面积为，高为
，
因此，该几何体的体积为，故选：B。
【点睛】
本题考查三视图以及简单几何体体积的计算，要根据三视图确定几何体的形状，再根据体积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题。
6．若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形
【答案】C
【解析】
试题分析：因为,所以四边形ABCD为平行四边形，又因为
,所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
考点：向量在证明菱形当中的应用.
点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.
7．已知，
，
，
成等差数列，
，
，
成等比数列，则
（ ）
A． B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质可得出的值，利用等比中项的性质求出
的值，于此可得出
的值。
【详解】
由于、
、
、
成等差数列，则
，
又、
、
成等比数列，则
，
，
当时，
；当
时，
，因此，
或
，
故选：D。
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，在处理等差数列和等比数列相关问题时，可以充分利用与下标相关的性质，可以简化计算，考查计算能力，属于中等题。
8．设，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特殊值来得出“”与“
”的充分必要性关系。
【详解】
若，则
，但
不成立；
若，
，
成立，但
不成立。
因此，“”是“
”的既不充分也不必要条件，故选：D。
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，常用集合的包含关系来进行判断，也可以利用特殊值以及逻辑推证法来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题。
9．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导，求出函数的单调性，利用单调性来辨别函数
的图象，以及函数值符号来辨别函数
的图象。
【详解】
，
.
解不等式，即
，得
；
解不等式，即
，得
或
.
所以，函数的单调递增区间为
和
，
单调递减区间为。
令，即
，得
或
；
令，即
，得
.
所以，符合条件的函数为B选项中的图象，故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。
10．设，
为两条不同的直线，
，
为两个不同的平面，则（ ）
A．若，
，则
B．若
，
，则
C．若，
，则
D．若
，
，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断。
【详解】
对于A选项，若，
，则
与
平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；
对于B选项，若，且
，
，
，根据直线与平面平行的判定定理知，
，
，但
与
不平行；
对于C选项，若，
，在平面
内可找到两条相交直线
、
使得
，
，于是可得出
，
，根据直线与平面垂直的判定定理可得
；
对于D选项，若，在平面
内可找到一条直线
与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知
，只有当
时，
才与平面
垂直。
故选：C。
【点睛】
本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题。
11．设实数，
满足不等式组
则
的最小值是（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线在
轴上截距的变化，找到该直线在
轴上的截距取得最小值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案。
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
平移直线，当直线
经过可行域的顶点
时，此时该直线在
轴上的截距最小，
取得最小值，即
，故选：B。
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的思想，利用其在坐标轴上截距最值的思想找出最优来处理，考查数形结合思想，属于中等题。
12．若是第四象限角，
，则
（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
确定角所处的象限，并求出
的值，利用诱导公式求出
的值。
【详解】
是第四象限角，则
，
，且
，
所以，是第四象限角，则
，
因此，，故选：C。
【点睛】
本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时，要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题。
13．已知椭圆，设直线
交椭圆
所得的弦长为
.则下列直线中，交椭圆
所得的弦长不可能等于
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在直线中取
值，对应地找到选项A、B、C中的
值，使得直线与给出的直线关于坐标轴或原点具有对称性得出答案。
【详解】
当直线过点
，取
，直线
和选项A中的直线重合，故排除A；
当直线过点
，取
，直线
和选项B中的直线关于
轴对称，被椭圆
截得的弦长相同，故排除B；
当时，取
，直线
和选项C中的直线关于
轴对称，被椭圆
截得的弦长相同，故排除C；
直线的斜率为
，且过点
，选项D中的直线的斜率为
，且过点
，这两条直线不关于
轴、
轴和原点对称，故被椭圆
所截得的弦长不可能相等。故选：D。
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中等题。
14．设.若函数
，
的定义域是
.则下列说法错误的是（ ）
A．若，
都是增函数，则函数
为增函数
B．若，
都是减函数，则函数
为减函数
C．若，
都是奇函数，则函数
为奇函数
D．若，
都是偶函数，则函数
为偶函数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得出，据此依次分析选项，综合即可得出答案。
【详解】
根据题意可知，，
则，据此依次分析选项：
对于A选项，若函数、
都是增函数，可得图象均为上升，则函数
为增函数，A选项正确；
对于B选项，若函数、
都是减函数，可得它们的图象都是下降的，则函数
为减函数，B选项正确；
对于C选项，若函数、
都是奇函数，则函数
不一定是奇函数，如
，
，可得函数
不关于原点对称，C选项错误；
对于D选项，若函数、
都是偶函数，可得它们的图象都关于
轴对称，则函数
为偶函数，D选项正确。故选：C。
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定，解题时要理解题中函数的定义，考查判断这些基本性质时，可以从定义出发来理解，也可以借助图象来理解，考查分析问题的能力，属于难题。
15．长方体中，
是对角线
上一点，
是底面
上一点，若
，
，则
的最小值为（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将绕边
旋转到
的位置，使得平面
和平面
在同一平面内，则
到平面
的距离即为
的最小值，利用勾股定理解出即可。
【详解】
将绕边
旋转到
的位置，使得平面
和平面
在同一平面内，
过点作
平面
，交
于点
，垂足为点
，则
为
的最小值。
，
，
，
，
，
，
，
，故选：A。
【点睛】
本题考查空间距离的计算，将两折线段长度和的计算转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路，考查空间想象能力，属于中等题。
第II卷（非选择题)
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16．若双曲线的渐近线与圆
相切，则
_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，然后利用渐近线与圆相切，转化为圆心到渐近线的距离等于半径，因此可得出的值。
【详解】
双曲线的渐近线方程为
，即
，
圆，圆心坐标为
，半径为
，
由于双曲线的渐近线与圆相切，则
，故答案为：
。
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线，考查直线与圆的位置关系，在求解直线与圆相切的问题时，常有以下两种方法进行转化：
（1）几何法：圆心到直线的距离等于半径；
（2）代数法：将直线方程与圆的方程联立，利用判别式为零进行求解。
考查化归与转化思想，考查计算能力，属于中等题。
17．已知，
是单位向量.若
，则向量
，
夹角的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设向量、
的夹角为
，在不等式
两边平方，利用数量积的运算律和定义求出
的取值范围，于此可求出
的取值范围。
【详解】
设向量、
的夹角为
，
，两边平方得
，
、
都是单位向量，则有
，得
，
，
，因此，向量
、
的夹角的取值范围是
，
故答案为：。
【点睛】
本题考查平面数量积的运算，考查平面向量夹角的取值范围，在涉及平面向量模有关的计算时，常将等式或不等式进行平方，结合数量积的定义和运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题。
18．已知数列是等差数列，
是等比数列，数列
的前
项和为
.若
，则数列
的通项公式为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先设数列的前
项和为
，先令
，得出
求出
的值，再令
，得出
，结合
的值和
的通项的结构得出数列
的通项公式。
【详解】
设数列的前
项和为
，则
.
当时，
，
，
；
当时，
.
也适合上式，
.
由于数列是等差数列，则
是关于
的一次函数，且数列
是等比数列，
，可设
，则
，
，因此，
。
故答案为：。
【点睛】
本题考查利用前项和公式求数列的通项，一般利用作差法求解，即
，在计算时要对
是否满足通项进行检验，考查计算能力，属于中等题。
19．如图，已知正三棱锥，
，
，点
，
分别在核
，
上（不包含端点），则直线
，
所成的角的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
考查临界位置，先考查位于棱
的端点时，直线
与平面
内的直线所成的最小的角，即直线
与平面
所成的角，以及
与
所成角的最大值，即
，于此得出直线
、
所成角的取值范围。
【详解】
如下图所示：
过点作
平面
，垂足为点
，则点
为等边
的中心，
由正弦定理得，
平面
，易得
，
当点在线段
上运动时，直线
与平面
内的直线所成角的最小值，
即为直线与平面
所成的角，设这个角为
，则
，
显然，当点位于棱
的端点时，
取最小值，此时，
，则
；
当点位于棱
的中点时，则点
位于线段
上，且
，
过点作
交
于点
，
平面
，
平面
，则
，
又，
，
平面
，
平面
，
，此时，直线
与
所成的角取得最大值
。
由于点不与棱
的端点重合，所以，直线
与
所成角的取值范围是
。
故答案为：。
【点睛】
本题考查异面直线所成角的取值范围，解这类问题可以利用临界位置法进行处理，同时注意异面直线所成角与直线与平面所成角定义的区别，并熟悉异面直线所成角的求解步骤，考查空间想象能力，属于难题。
20．设函数.
（I）求的最小正周期
；
（Ⅱ）求在区间
上的值域.
【答案】（I）；（Ⅱ）
.
【解析】
【分析】
（I）将函数的解析式利用二倍角降幂公式、辅助角公式化简，再利用周期公式可计算出函数
的最小正周期；
（Ⅱ）由，求出
的取值范围，再结合正弦函数的图象得出
的范围，于此可得出函数
在区间
上的值域.
【详解】
（Ⅰ），
所以；
（Ⅱ）因为，
因为，所以
，所以
，
所以的值域为
.
【点睛】
本题考查三角函数的基本性质，考查三角函数的周期和值域问题，首先应该将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，结合三角函数图象得出相关性质，考查计算能力，属于中等题。
21．如图，已知三棱柱，
底面
，
，
，
为
的中点.
（I）证明：面
；
（Ⅱ）求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（I）连接，交
于
，则
为
的中点，由中位线的性质得出
，再利用直线与平面平行的判定定理可证明
平面
；
（Ⅱ）以，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系，并设
，计算出平面
的一个法向量
，记直线
平面
所成角为
，于是得出
可得出直线
与平面
所成角的正弦值。
【详解】
（Ⅰ）证明：连接，交
于
，所以
为
的中点，
又因为为
的中点，所以
，
因为在面
内，
不在面
内，所以
面
；
（Ⅱ）以，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系（不妨设
）.
所以，
，
，
，
设面的法向量为
，
则，解得
.
因为，记直线
平面
所成角为
.
所以.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的计算，常见的有定义法和空间向量法，可根据题中的条件来选择，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题。
22．设数列是公差不为零的等差数列，其前
项和为
，
.若
，
，
成等比数列.
（I）求及
；
（Ⅱ）设， 求数列
的前
项和
.
【答案】（I），
；（Ⅱ）
.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为
，根据题中条件列方程组求出
和
的值，于此可得出
和
的表达式；
（Ⅱ）将的通项表示为
，再利用裂项法可求出数列
的前
项和
.
【详解】
（Ⅰ）由题意，得，即
，
，解得
，
所以，
；
（Ⅱ）因为，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列通项和求和公式，考查裂项求和法，在求解等差数列的问题时，一般都是通过建立首项与公差的方程组，求解这两个基本量来解决等差数列的相关问题，考查计算能力，属于中等题。
23．已知直线与抛物线
交于
，
两点，点
为线段
的中点.
（I）当直线经过抛物线
的焦点，
时，求点
的横坐标；
（Ⅱ）若，求点
横坐标的最小值，井求此时直线
的方程.
【答案】（I）2；（Ⅱ），
或
.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设，
，由抛物线的定义得出
，再利用中点坐标公式可求出线段
的中点
的横坐标；
（Ⅱ）设直线的方程为
，将直线
的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式并结合条件
，得出
，再利用韦达定理得出点
的横坐标关于
的表达式，可求出点
的横坐标的最小值，求出此时
和
的值，可得出直线
的方程。
【详解】
（Ⅰ）设，
，所以
，所以
；
（Ⅱ）设直线，由
，
得，所以
，
.
所以.
所以，
所以，
所以，此时
，
，所以
或
.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的弦长的最值问题，解决这类问题的常用办法就是将直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理设而不求的思想进行求解，难点在于化简计算，属于中等题。
24．设，
，已知函数
.
（I）当时，求
的单调增区间；
（Ⅱ）若对于任意，函数
至少有三个零点，求实数
的取值范围.
【答案】（I）；（Ⅱ）
.
【解析】
【分析】
（I）将代入函数
的解析式，并将函数
的解析式表示为分段函数的性质，再结合二次函数的性质得出函数
的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数的解析式去绝对值，表示为分段函数的形式，并判断出该函数的单调性，结合零点存在定理判断函数
的零点，得出关于
与
的不等式关系，利用不等式的性质求出
的取值范围。
【详解】
（Ⅰ）当时，
，
所以的单调增区间为
.
（Ⅱ）因为，且
，
可知在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
①若，则
在
和
上无零点，
由的单调性及零点的存在性定理可知，
至多有两个零点；
故，即
对任意
恒成立，可知
.
②当时，若
或
成立，
则由的单调性及零点的存在性定理可知
至多有两个零点，故
，即
成立，注意到
，
故，
即对任意
成立，可知
，
综上可知，.
因为，所以
.
设，其顶点
在
，
（即线段
）上运动.
若，显然存在
字图与抛物线
只有两个交点的情况，不符合题意，故
，如图画出草图.
显然 当点自点
向点
运动时，两个图象总有
，
两个交点，故只需要
字形图象右支
与抛物线有
交点即可，
即有两个正根，满足
，
即对任意
都成立，即
，
又，所以
.
【点睛】
本题考查了绝对值函数单调区间的求解和函数的零点问题，利用单调性和零点存在定理是解决函数零点问题的常用方法，考查分类讨论思想和转化思想，属于难题。
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