（完整版）大数定律及中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理

【基本要求】1、了解切比雪夫不等式；

2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论；

3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。

【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。

【学时分配】2学时

【授课内容】

§5.1 大数定律

0.前言

在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。

下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。

一、切比雪夫大数定律

事件的频率稳定于概率，能否有，答案是否定的。而是用[依概率收敛]来刻划（弱）。或者用[a.e.收敛] 来刻划（强）。

1.定义：设是一个随机变量序列，是一个常数，若对于任意正数，有，

则称序列依概率收敛于.记为.

2．切比雪夫不等式

设随机变量具有有限的期望与方差，则对，有

或

证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设，则有

该不等式表明：当很小时，也很小，即的取值偏离的可能性很小。这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量。

切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。

3．定理1（切比雪夫大数定律）

设是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在常数，使，则对任意的，有[即]

证明：由切比雪夫不等式知：有：

该定理表明：当很大时，随机变量的算术平均值接近于其数学期望，这种接近是在概率意义下的接近。通俗的说，在定理的条件下，个相互独立的随机变量算术平均值，在无限增加时将几乎变成一个常数。

推论：设是相互独立的随机变量，由相同的数学期望和方差，则有

（即以概率收敛于）

这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复测量多次，测得若干实测值，然后用其平均值来代替。

切比雪夫大数定律是最基本的大数定理，作为切比雪夫大数定律的特殊情形有Bernoulli 大数定理和辛钦大数定律。

二、Bernoulli 大数定律

定理2：设是重Bernoulli试验中事件出现的次数，而是事件在每次试验中出现的概率，则对，

证明：令，

则相互独立且＝，，，，

故由切比雪夫大数定律立刻推出贝努里大数定律。

或者，直接由切比雪夫不等式，对，有

即 。故{}服从大数定律。

Bernoulli 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

切比雪夫大数定律（定理1）中要求随机变量的方差存在，但在这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要求，从而我们有以下的定理：

三、辛钦大数定律

定理3：设随机变量独立同分布，且具有数学期望，则有 （即以概率收敛于）

证明：略。

显然，Bernoulli大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。

§5.2 中心极限定理

0.前言

在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量是近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。

中心极限定理的内容包含极限，因而称它为极限定理是很自然的，又由于它在统计中的重要性，称它为中心极限定理这是Poyla在1920年取得名字。

设{}是相互独立的随机变量序列，它们的期望与方差均存在，考虑（标准化和），这时对于任意的都有，因而当时，不至于发生趋向于0或这种情形，这时讨论它的分布才有意义。下面研究的分布：

中心极限定理有多种不同的形式，下面我主要讲独立同分布的中心极限定理及其一特殊情形：

一、定理1:(Levy-Lindeberg极限定理)[独立同分布的中心极限定理]

设是独立同分布的随机变量序列，且（），，均存在，则，有

证：（略）

该定理也可改写为：对，有

在一般情况下，很难求出n个随机变量之和的分布函数，该定理表明：当n充分大时，可以通过给出其近似分布，这样就可以利用正态分布对作理论分析或作实际计算，其好处是明显的。

二、定理2（De Moivre-Laplace极限定理）(定理1的特殊情形)

设是n重Bernoulli试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为，则对有 。

该定理也可改写为：，有

证明： 令 则

为独立同分布的随机变量序列,且均存在

显然：，此时

该定理为上定理的一个特殊情形，故由上定理该定理得证。

中心极限定理表明：在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布。因此，只要和式中加项的个数充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在应用上是有效的和重要的。

作为以上两个定理的应用，我们给出下面例子：

例1：一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布。记，求的近似值。

解：，由定理1，得

即有

例2:一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于的概率为，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有次纵摇角大于的概率是多少？

解：设，，。则，由定理2得

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