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复合函数的求导法则（导案）

发布时间：2020-06-13 00:16:22 来源：文档文库

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1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）；

（2）．

（3）；

（4）

解：（1），

。

（2）

（3）

，

。

（4）

。

2．已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

（y ＝－12 x ＋8）

§1.2.3复合函数的求导法则(导案)

教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．

教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．

教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．

一．创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

函数	导数




	0)' altImg='ae4702b151f91dbf18471dd4d944fcb0.png' w='169' h='22' class='_1'>

	0且a≠1)' altImg='34aea07dfe27bb9cce5b20f6de08f6a6.png' w='343' h='43' class='_1'>

（二）导数的运算法则

导数运算法则

1．

2．

3．

（2）推论：

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授

复合函数的概念一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。

复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

若，则

三．典例分析

例1（课本例4）求下列函数的导数：

（1）；（2）；

（3）（其中均为常数）．

解：（1）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有

=。

（2）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有

=。

（3）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有

=。

例2求的导数．

解：

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例3求的导数．

解：

，

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例4求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．

【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x

＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′

＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)

＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

四．回顾总结

五．教后反思：

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0dcf89eb3868011ca300a6c30c2259010302f389.html

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