2017年浦东新区高三数学一模官方定稿版（浦东印稿答案）

浦东新区2016学年度第一学期教学质量检测

高三数学试卷 2016.12

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.

2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1．已知，集合，则______.

2．三阶行列式中元素的代数余子式的值为___34_____.

3．的二项展开式中含项的系数是____7_____.

4．已知一个球的表面积为，则它的体积为________.

5．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球. 这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是__________.

6．已知直线：被圆C：所截得的弦长为6，则_____.

7．若复数在复平面上所对应的点在直线上，则实数______.

8．函数的最小正周期为_______.

9．过双曲线C：的右焦点作一条垂直于轴的垂线交双曲线C的两条渐近线于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为_______.

10．若关于的不等式在区间内恒成立，

则实数的取值范围为_____.

11．如图，在正方形中，，、分别是边上的两个动点，且，则的取值范围是 .

12．已知定义在上的单调递增函数，对于任意的, 都有 且恒成立，则=_______.

解答：由题意，，而，

若，则，不合题意，舍.

若，则，符合题意.

若，则，由单调性可知，

，故，与已知矛盾.

所以，，同理：.

则有，，

由单调性及，可知，

则应有，，

下证：当时，，，显然成立。

假设，，

则，，由归纳法可知

，对都成立

当时，

而，

当时，

综上： ，

，

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

13．将图像向左平移个单位，所得的函数为 ( A )

（A） （B）

（C） （D）

14．已知函数的反函数为，则函数与的图像

( D )

（A）关于轴对称 （B）关于原点对称

（C）关于直线对称 （D）关于直线对称

15．设是等差数列，下列命题中正确的是 ( C )

（A）若，则 （B）若，则

（C）若，则 （D）若，则

16．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于 8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则、的大小关系是 ( A )

（A） （B）

（C） （D）、的大小关系不确定

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

17．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在长方体－中（如图），，，点是棱的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑. 试问四面体是否为鳖臑？并说明理由.

解：（1）作交于， 因为，所以，

故为正三角形，异面直线与所成角为…………………6分

（2）是棱上的中点，则、均为等腰直角三角形，

故，所以为直角三角形.………………………………………9分

由平面，，知平面，故，所以

为直角三角形…………………………………………………………………………13分

而显然、均为直角三角形，故四面体四个面均为直角三角形，

为鳖臑. …………………………………………………………………………………14分

18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

（1）若，，的面积，求值；

（2）若，求角C.

解：（1）,

…………………………………………………………………………2分

由余弦定理得………………………………………4分

，……………………………………………………7分

（2）…………10分

又………………………………………………………12分

∴，

∵，∴………………………………………………………14分

19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的一条直线交椭圆于、两点，若的周长为，且长轴长与短轴长之比为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求直线的方程.

解：（1）由条件知：，

解得：，…………4分

所以椭圆的方程为………………6分

（2）设直线的方程为： ；

因为，

所以，所以,所以。…………9分

………………………………………11分

解得：…………………………………………………………13分

所以直线的方程为…………………………………14分

20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设数列满足，；

（1）若，求证：数列为等比数列；

（2）在（1）的条件下，对于正整数、、，若、、这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组；

（3）若，，，是的前项和，求不超过 的最大整数.

解：（1）由，∴，

即，又，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列；………………………4分

（2）由（1）知，这三项经适当排序后能构成等差数列；

①若，则，∴，

∴，∴；………………6分

②若，则，∴，

左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；………………………8分

③若，同理也不成立；

综合①②③得，；……………………………………10分

（3）由，∴，………………………12分

∴；…………………………………………………13分

由

；

∴

.

∴不超过的最大整数为………………………………………………16分

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知定义在上的函数的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上都不是常值函数.设，其中分点、、、将区间任意划分成个小区间，记，称为关于区间的阶划分的“落差总和”.

当取得最大值且取得最小值时，称存在“最佳划分”.

（1）已知，求的最大值；

（2）已知，求证：在上存在“最佳划分”的充要条件是在上单调递增.

（3）若是偶函数且存在“最佳划分”，求证：是偶数，且.

解：（1）.……………………………………4分

（2）若在上单调递增，则

，

故在上存在“最佳划分”.……………………………………6分

若在上存在“最佳划分”，倘若在上不单调递增，

则存在.

由………………（*）

等号当且仅当时取得，此时

，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立.即：增加分点后，“落差总和”会增加，故取最大值时的最小值大于1，与条件矛盾.

所以在上单调递增. ……………………………………………………10分

（3）由（2）的证明过程可知，在任意区间上，若存在最佳划分，则当时，为常值函数（舍）；当时，单调递增；

当时，单调递减. ……………………………………………12分

若在上存在最佳划分，则此时在每个小区间上均为最佳划分.否则，添加分点后可使在上的“落差总和”增大，从而不是“落差总和”的最大值，与“在上存在最佳划分”矛盾，故在每个小区间上都单调. …………………………………………………………………………………………14分

若在上存在最佳划分，则在相邻的两个区间、上具有不同的单调性.否则， ，

减少分点，“落差总和”的值不变，而的值减少1，故的最小值不是，与“在上存在最佳划分”矛盾. ………………………………………………16分

存在“最佳划分”，故在每个小区间上都单调.而是偶函数，故在轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当时，从而有.………18分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0d84a0bbdbef5ef7ba0d4a7302768e9951e76ef1.html