吉林省2019年高考全国2卷高三最新信息卷理数（含解析）

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理 科 数 学

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数48eadf89cf8dfc15b20a6b5ac77e16ab.png所对应的点关于实轴对称的点为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png对应的复数为（ ）

A．1662906b42c0ef6d289e48db87c331cf.png B．5e328ccb23b9e6d6db97bfa4bfb9aa41.png C．81abcd1c8128381b834ee4a03d16ecfc.png D．cd237b957148d2dc2767b1293af14d18.png

2．[2019·哈六中]c0aec5048853a47094fd0534f46b7526.png是5d543bb5754a033dccd57ccaa149ab54.png成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）

A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力

B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值

C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平

D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值

4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率

为（ ）

A．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B．aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png C．75276e5ef991e623587b42b4b08f7665.png D．66cbd588e43beda649d9e826410812cb.png

5．[2019·郑州一中]已知函数6bf5e62e97116dee50428eef8d526d23.png，则不等式b50c8662ba1e7ec8e5ae3c818b0b382b.png的解集为（ ）

A．4510440cbc4a5ec0a4fce773ab1776ae.png B．48490f6b8c0dda0030670a71724e1992.png C．93aba17dc450950057dc8fb6bbf4a8d8.png D．00d28931d51f29d32808510f4834d505.png

6．[2019·烟台一模]将函数60984d3b250afe9ca0467a399a0a84cb.png的图象向右平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png个单位长度后，所得图象关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称，且fbda3057cf74e7eb6fb9daa96bedc691.png，则当45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png取最小值时，函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的解析式为（ ）

A．0a5aeb5ae1426fedc29a9ba4a23aa822.png B．cb0cbf6ef0a76f215755d07aa2bad0e9.png

C．b9fda6221f960d8115db0561e5cb4470.png D．fafe70270048ff1c8baab1efffa51efc.png

7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ）

A．ad9995c0d305d650bc1a138f32113af7.png B．5 C．6 D．f884cc5c56f9c9a8d4d61568ff64db9c.png

8．[2019·哈六中]实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png满足不等式组bb3223c760779db91400d1de7fb07cdc.png，若2a37a7e7298d9a26fd2eb0e7c75db404.png的最大值为5，则正数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的值为（ ）

A．2 B．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png C．10 D．1b7fcaa2e80f3cc459ba13babb1338cb.png

9．[2019·镇海中学]已知正项等比数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足129f3b5681a6e51ef6be9ed392e5b106.png，若存在两项f34ca83cedb0460b0a143bb2e45aea54.png，9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png，使得2d0010e2a6d65f497ce597214a2fbd69.png，则e74d67ffd0709d9e7a5d7af462ccd91e.png的最小值为（ ）

A．bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png B．b16e17d08c12f5db4297310424d13eb8.png C．e93aef3644f3a0e2ffc48ff352d29ac4.png D．bb36f7cbf0eb980f15e0b337ce132ebb.png

10．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为弧ea8a44c19b3fd6f0b97b0828f6dae019.png的中点，则异面直线ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png与f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png所成角的余弦值为（ ）

A．227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png B．2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png C．74c141edbdb62115c856b51551ffe1ab.png D．dfa9c2943ed27b92909daa95a2b1fc29.png

11．[2019·天津毕业]已知双曲线2fd20d35df801b1834efd73a88ee9ef7.png，过原点的直线与双曲线交于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点，以b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png为直径的圆恰好过双曲线的右焦点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png，若533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积为78b50ae34155523e2cbf6bfe3b1364e8.png，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．0e5f6cebe5b9567f67861f41b27fd3b9.png B．1e70f74fa18bae9e0b203514e54e2433.png C．27dc72501500973db52a73a3559cc0b6.png D．fa1a4f2e9771a00ad30da73c87d99f8e.png

12．[2019·上高二中]定义：若数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png对任意的正整数7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png，都有f388da3aeaee140249e2ab3e3544908d.png，则称02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为“绝对和数列”，8277e0910d750195b448797616e091ad.png叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中，4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，绝对公和为3，

则其前2019项的和7c522b2865d075c0109e5574e6ddb8fa.png的最小值为（ ）

A．055ab0b948755a09d56708cd5fc3e515.png B．5143609aea303e2974a6613417bcc669.png C．43ab1a9ae6741c58030bdc8d28f448b6.png D．a06d6cd4d7ea21689b65c5bf92719852.png

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．[2019·呼和浩特质检]在2c2b342193b2adb952d84f3198b561bc.png的展开式中，c66452631491acdbf8e5ed69dfd19681.png的系数为______．

14．[2019·衡水二中]已知函数71733277aa62504af6c6a166e4d12fba.png，则b752473504ae8ece7053ae17924422ab.png_____．

15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png中，f24cad45082d64977c921ea516f4ccb4.png，则向量4c0a5dc095421f8d144dfd650f251b49.png在367c39921058afc050b0ceca063de712.png上的投影

为______．

16．[2019·德州一模]已知函数cf09928d7e916f8685b6bf635b74499d.png，365097552589d496ec038dd3422e2f0a.png，设两曲线f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png，04fda6c5ed3a8bc3e98652581296e371.png有公共点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，且在44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点处的切线相同，当a0f89648b1411d4dca1da7f39f25fcfe.png时，实数92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的最大值是______．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）[2019·甘肃联考]在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，5c22ca7981c6fdbb9670316474b2d05e.png，2ce8fcb8aac27fef45a02a531ff4b7ad.png．

（1）求fc628a94a57cc0f8eea22b167baf9301.png；

（2）若207e7b436d86edea3b6d0c51d8e34710.png，求533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的周长．

18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市9d7d48746402116fd30deb015ce9bf58.png个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为7e56c79236bbf90c734a8eccfdf83f45.png．

（1）求7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的值；

（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；

（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png，求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列和期望．

19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，824e9b2810c5b6f7d4bd1c7359bac493.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，3f12cbc63efade11c6d1aa7b1f889513.png，f41e7aca95f113aacb2191859ad58fad.png，9b239733ce0481d4d7ab5279c43feb37.png的中点为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，若线段923ac2ea3897049a2180b44d6b91f675.png上存在点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png使得e459af2dc1b587751a9b1a5b657facc2.png平面a6e9f59d8acdb5cb54ccffe3a98bb825.png．

（1）求b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png；

（2）求二面角9b2c6a8f3038172a985feeb7419ce1f7.png的余弦值．

20．（12分）[2019·烟台一模]已知800618943025315f869e4e1f09471012.png为抛物线4737b0914f010f9ef908329c280ea24a.png的焦点，过800618943025315f869e4e1f09471012.png的动直线交抛物线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点．当直线与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴垂直时，4d5b8f6b79756a889efc217ddb524d46.png．

（1）求抛物线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的方程；

（2）设直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的斜率为1且与抛物线的准线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png相交于点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，抛物线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png上存在点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png使得直线06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png，21b7eb30013b04776f5b06bc59209391.png，cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png的斜率成等差数列，求点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的坐标．

21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数d044f974ee93e1fe5b390b105239e01d.png，其导函数8739bc9b79caea164fc15788de83e649.png的最大值

为0．

（1）求实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值；

（2）若97808938dbb440b3d57fd212067cc7d6.png，证明：5ed528f655e57e2e3c6ff5c0b702c8ce.png．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

[2019·宝鸡模拟]点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png是曲线fdee74bd44a8a6fb0ea11513883ffc63.png上的动点，以坐标原点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为极点，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，以极点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为中心，将点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png逆时针旋转fa85e556375bb0c120972b0ba510c264.png得到点f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，设点f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png的轨迹为曲线932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png．

（1）求曲线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png，932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png的极坐标方程；

（2）射线c0080c412f364fdc1f4ea3b501aee672.png与曲线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png，932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png分别交于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点，设定点1879cddd75d5081bbe8f1faf9120fed4.png，求c9341707b95c09e601b34813fe375c0a.png的面积．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

[2019·上饶二模]已知函数11e126e0f9de208777bb54c3d123fb92.png．

（1）若不等式5e364d7cb49f2c2cd75c1d5321c4263f.png的解集为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，且d3df2e4508590d310ce07e80e9d44f18.png，求实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围；

（2）若不等式0bcd66c6d689c64573912fa22550c044.png对一切实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png恒成立，求实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围．

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理科数学答案

一、选择题．

1．【答案】B

【解析】f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png复数397eaa813ffc6d23002632072d40aa23.png，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png复数的共轭复数是5e328ccb23b9e6d6db97bfa4bfb9aa41.png，

就是复数48eadf89cf8dfc15b20a6b5ac77e16ab.png所对应的点关于实轴对称的点为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png对应的复数，故选B．

2．【答案】A

【解析】解5d543bb5754a033dccd57ccaa149ab54.png得到022017017ebeb4dbd50b1fb2dd925879.png，假设c0aec5048853a47094fd0534f46b7526.png，一定有022017017ebeb4dbd50b1fb2dd925879.png，反之不一定，

故c0aec5048853a47094fd0534f46b7526.png是5d543bb5754a033dccd57ccaa149ab54.png成立的充分不必要条件．故答案为A．

3．【答案】C

【解析】对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，

所以该命题是假命题；

对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，

所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；

对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为947b928951625aa1869ed6a72e14ed04.png，乙的六维能力指标值的平均值为e268eb46a4fd56be9979dd367b334c5f.png，因为29e582f2091bd0ad0b6356efc5c971ed.png，所以选项C正确；

对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，

所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C．

4．【答案】A

【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即7010c60bad7ae64e6a31b469ae79c1ca.png，

所以离心率01520e2940bc4ac941d465485cc5c10c.png，故选A．

5．【答案】D

【解析】当e3f7f32051ade969e770ab04b5a4853b.png时，b50c8662ba1e7ec8e5ae3c818b0b382b.png，即为891e643f59f235a7d3c9d2f8130150b9.png，解得0777cf2be6b5a3c0c726f0bf281e1517.png；

当17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png时，b50c8662ba1e7ec8e5ae3c818b0b382b.png，即为68f9986e5f608ae1b972ab064855c496.png，解得b69be4243d6ec076204065a5b2034375.png，

综上可得，原不等式的解集为693bd28ab2624f434d532b930401429c.png，故选D．

6．【答案】C

【解析】将函数60984d3b250afe9ca0467a399a0a84cb.png的图象向右平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png个单位长度后，

可得18ffe377979c0fce81cbb8324c463ee5.png的图象，

∵所得图象关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称，∴de1930a2984ab23622c6d2b9a2eb9a62.png，6f16bcab8b2621a05fee0bf0374f00d6.png．

∵6517f078e82ca8af0bed85b0f60984f2.png，即5dfce17f55dc540d70cd43882b7556a1.png，则当45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png取最小值时，e0b755e32713dad4314877dccb42abe1.png，

∴a1779c50c7a8b836f55862921301b9ab.png，取316e9e8d56f48e2888bc8ba9f9c4321d.png，可得73258881162de2516716a37bfcd57bb7.png，

∴函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的解析式为b9fda6221f960d8115db0561e5cb4470.png，故选C．

7．【答案】B

【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：

结合图中数据，计算该几何体的体积为

55d4d4afea609a581358981b6718abba.png（立方丈）．

8．【答案】A

【解析】先由317cb1d0a74baca18daf82ffb7ea1f59.png画可行域，

发现890f392acc2c8c25410916698610c817.png，所以83bb4d57d6ad77f90cb791c7febd0bc6.png可得到626469bf4fc847b8b65c0e1517eabf86.png，且6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png为正数．

画出可行域为9c9962c61000ce4398be0972093ccf0f.png（含边界）区域．

2a37a7e7298d9a26fd2eb0e7c75db404.png，转化为f125852811796451be8a72bbc699952c.png，是斜率为1b6b3e808a3cc205dfcbe4e119f59025.png的一簇平行线，fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png表示在415290769594460e2e485922904f345d.png轴的截距，

由图可知在7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png点时截距最大，

解c6563069724248d4b4ecbfc6a39339f9.png，得d213cd0ed3e9907db41164fc57ff5033.png，即bf52112df829b62d90927071cf485d33.png，

此时44290806660e7b91421abec6183bd561.png，解得9db69d5e593037ce789f9befbb30b353.png，故选A项．

9．【答案】B

【解析】设正项等比数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公比为7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png，且835372d52cbf3069da974c246201a23d.png，

由129f3b5681a6e51ef6be9ed392e5b106.png，得ded8fe46d89a43d81db5a7740d23fae1.png，

化简得e414e13efd20b1bb9c1ee130cf94f152.png，解得ed7e87e89723823cc5feb4fe84e41254.png或af3fec8ea3ed4280f941eefeade4c74d.png（舍去），

因为e03be0353b7f1ae9318f02a446d350c6.png，所以865c1354c91dc860bba5c75ab9f014f5.png，则71cf6bc70f12149210877fd300c125d9.png，解得8e2c9bf6238b1c4c93c2dc7b80ed8be5.png，

所以0a669496cc9153af59736f8c5111df2f.png，

当且仅当2169b23898f7e59f071884dbec33ccca.png时取等号，此时3cb90537b211348084dec9448bd5701f.png，解得6aeb1a3b0f8536f628b8c5a818a28983.png，

因为6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则01ce2c12b7ba8d08611621f926f0f665.png，

验证可得，当9db69d5e593037ce789f9befbb30b353.png，aa415f33717e0cf5151a7712cb4f2f59.png时，e74d67ffd0709d9e7a5d7af462ccd91e.png取最小值为b16e17d08c12f5db4297310424d13eb8.png，故选B．

10．【答案】D

【解析】取f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的中点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，连接088a2013906137902c9832d2f5a3a940.png，e99c19dec2b574bc5d4990504f6cf550.png，dac2ff1e8eebe31de1cf39314b861d81.png，

设57172348fa5f51bfcae241eb72585232.png，则df5a5617b441eeb4237861f46e30415a.png，6548425a291cbf5cb002eb47ca46fc1e.png，所以db079c48c94ddd119fd35fa18c0e8ef2.png，

连接4e67af4d9f8ced24cc2feead828efbf6.png，169a4d69302b83f45d4ce241094af1d1.png，

因为a047901ddf9d2a93ec4917e8634be085.png，所以异面直线ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png与f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png所成角即为5546519f07c33165215a0c82c0637b97.png，

在6b95ae737d11d4c5d87eb2728af0b40c.png中，1bd45ab85daef581e5dcd8fc2c76166b.png，故选D．

11．【答案】B

【解析】f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png以b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png以b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png为直径的圆的方程为222041b22f9bed1bdd29fae79ecd9958.png，

由对称性知533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积8c7930680a0f718ddc6bd4b7680aef41.png，

即647d5d0f0f3d3620500366b230090c43.png，即9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png点的纵坐标为a12a4b35228c46668163adae22626a24.png，

则由93d9207a5adbf17349efa275db7334fa.png，得bc4f28e2fa8923104c019f951df55fcc.png，

因为点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png在双曲线上，则d1f0d54ca46352b769902595d6382391.png，

即de6b9b4ac16a81d771a05b2dc3f0d196.png，即faff9e256ba2098a5df2c5c3d2d4bb39.png，

即1e53b2fd53c37467603109b6566887bb.png，即ff5c0acd60929098d3be75fe65076ccd.png，

即cd83f42b3c490931974493b6e91fcf65.png，得000c67db294f33265ebc66c6a76ea49b.png，

即ed74f3896acba4c7f96a530c825c523f.png，得5c643d609f799027b553085fd56ae5c8.png，得5f6bba77f559ce2d1476e45a1c4294db.png，1a73c705bb5ad7dd3a0ba931d3182a95.png．

则双曲线的渐近线方程为0c91e4aee573a03911d30f300466ed01.png，故选B．

12．【答案】C

【解析】依题意，要使其前2019项的和7c522b2865d075c0109e5574e6ddb8fa.png的最小值只需每一项的值都取最小值即可，

∵4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，绝对公和b558ea8ccf34dd8a099a5f6bd47872a0.png，∴c7d38220fa551f9018c48b93823eeabe.png或7ffcdda11bda1e9dd0d12548c9e7c526.png（舍），

∴2908d10b38c42fbfdd765f9fa7ebea36.png或5d455124b23baa5ab9eef366e0c86317.png（舍），∴a03be5dfb9b4c707a2b45e9aaa2253fb.png或7272d532fe769f168adb98a1af3f8baa.png（舍），

852c8ac9eb24a7942a5f34839353cb75.png，

∴满足条件的数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式cb4106b6833d1b423f8cb186c6cf7eb5.png，

∴所求值为1bce45241af81778aadc403783051d46.png

8e4ff1f6b54476be006b9de0ad4e6f71.png，故选C．

二、填空题．

13．【答案】80

【解析】2c2b342193b2adb952d84f3198b561bc.png的展开式中，通项公式50c45d35d7357fa9e4279b9a1809e382.png，

令f9c248bc90ae26b103f16df9072469ec.png，解得654f1c34870e04e1e4bf6b9b43ca4ac0.png．523bbc4d0ee6fc01c46c75db0d77c8ea.png的系数71e4a8433f859f65bc1c79e63a7fe878.png，故答案为80．

14．【答案】37e91e7cfd311133cddda440a045e191.png

【解析】因为9c62a48c935fe1efbae2a42f159c8a06.png，

所以f7adf41277148a3bce1a1de55e775ccf.png．故答案为37e91e7cfd311133cddda440a045e191.png．

15．【答案】bc8ae984d58c980e41537e0a9a5dbde9.png

【解析】7092866ec055f6ce799610a84a1aaf77.png，166e3fd4c20a68a5faa665d12738af73.png为f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的中点，5e9bc849dbb7e3082b3c256b53b5048e.png，

4e63cc4334e2a992abd16871d879c1d3.png，

ecae3d5b3beec31833a182eb494c8610.png，

则向量4c0a5dc095421f8d144dfd650f251b49.png在367c39921058afc050b0ceca063de712.png上的投影为7230d545929c86caa1f9e5cc9dd0b548.png，故答案为bc8ae984d58c980e41537e0a9a5dbde9.png．

16．【答案】7caffb4f6eb3aa4382be7f4226f94f0c.png

【解析】设3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png，2aef5e27be529f5b778921bafe5759e3.png，9fc1a626a191d3d674aa5027cf6848ef.png．

由题意知，2c0e47b9b44483eb50720be1bc088fed.png，0b3f4e52af81d23038581fda0b160f18.png，

即2ab79be23f1a1e8dabcfdd6a887532f3.png，aba1dd9afd994bc383f5259806be7bb4.png

96425dbda4cd3d09cb2313daffe598b2.png，6ac2397867767a902ce2217f0a58282f.png

解6ac2397867767a902ce2217f0a58282f.png得：9fc733d0b414c4d8c208e46d16ef0e6d.png或14d7a6cb09dd046cba09f0819228194d.png（舍），

代入aba1dd9afd994bc383f5259806be7bb4.png得：bd49d553cd6c1a92d253f21f6de909b3.png，a0f89648b1411d4dca1da7f39f25fcfe.png，

deb9136505fb193ae54c521533b2a457.png，

当c2116a20cee79e08ff321ac8b90226b0.png时，eeb36b6bbd3bc42e8306c578be2d14ec.png；当0d34132907734b77861ccc486209b784.png时，93b32fda45089cfaa12e0c24cd976faa.png．

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png实数92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的最大值是c86e0fc945d93012ac34b12325fd8bf8.png．故答案为7caffb4f6eb3aa4382be7f4226f94f0c.png．

三、解答题．

17．【答案】（1）1204f6ff529198d49531c28d3ebeccb6.png；（2）4b250cc96d62ae0d4cd63c5e0e345854.png．

【解析】（1）∵2ce8fcb8aac27fef45a02a531ff4b7ad.png，∴b9293995b218611867440359bb3ef4ca.png，∴164d4dd9a8e908cfadd1e06db6c609f2.png．

（2）设533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的内角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的对边分别为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png．

∵5c22ca7981c6fdbb9670316474b2d05e.png，∴8d20919d44b06ec4664cb6337beb446d.png，

∵342d30d4c040149135a6c454dbbe0551.png，∴83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，55a126c3d77ecdcb094e57308188d40d.png．

由余弦定理可得c8cf82e16ffd6197ff996eff9ae1ce94.png，

则f2e2d0a51736d2d3771ed1c74891bb06.png，533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的周长为4b250cc96d62ae0d4cd63c5e0e345854.png．

18．【答案】（1）da0eb2c60efbf3858606dce65755179f.png；（2）a784243d8211e519a1071acd55f1f3b0.png；（3）详见解析．

【解析】（1）由题意知共有254b83b6794439cd9536e4cf72c39421.png个集团，取出2个集团的方法总数是67ab45684a8f154a67e5f877c33edf95.png，

其中全是小集团的情况有31ced27beb097b4e979451d059b5321c.png，故全是小集团的概率是50595dcf6ebbcd3bb4f835ac6a693297.png，

整理得到222803789c46516ecca2ad6adba1fac2.png，即372fcc00fe23e9858c6eca99b74c0326.png，解得da0eb2c60efbf3858606dce65755179f.png．

（2）若2个全是大集团，共有6c52187f0ba0cb4b0f9b6837cb2a8205.png种情况；

若2个全是小集团，共有424b213365a2897facff37685bbd3bf9.png种情况，

故全为大集团的概率为763ca2b00148c641e7fab4b22e4ce3e1.png．

（3）由题意知，随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的可能取值为0，1，2，3，4，

计算9b2534497fd6a8d4145ebc8ff0dda898.png；0e8a696283c34fc5bf79c25038037ef8.png；d06d911301d678fa86cc53ad0719b325.png；8318c34afa12b658d8164e8b7bc48db6.png；12327dddec7e37ad92a2352b7a8eac22.png，

故02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列为：

数学期望为c83c88bd00857348d76a832d573eea66.png．

19．【答案】（1）6002dc96446f2a2910a2888d3dbfb115.png；（2）7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png．

【解析】（1）方法一：设b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的长为e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png，依题意可知5fc810cf62601df84b7923b9964c53e6.png，f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png，94c82f367723e9b2d59baad49af43606.png两两垂直，分别以13ced3ae293b172aea4221f9cd290423.png，f25da4c095faaf059c52f49e43f44445.png，4c0a5dc095421f8d144dfd650f251b49.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png，fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．

则2f3b348de5d431aa01e36ad83a31cc4a.png，881aeb17be5d1bde33715588acd3a5f0.png，c4cd7707391648a765a148c0f9eb962b.png，bd01a02f09bda8e1af8b56793a3a2620.png，e2d1ce2a754c95b2671effb4945d8df9.png，6823beff8494d3b2c30295490f35e50b.png，

因此722664e7bd57ae4d28774c514f4b9ab8.png，a96ec3efb0951eb673896e2d0fd82eb0.png，ac30e79fa77884a9a192a607f5fef077.png．

设fc9a97cab843f5966350e0942c305fc8.png，易求得点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的坐标为71e95984495dd71857945ab7541d862e.png，

所以7557f0c939a5c128df9d791be4b57dc4.png．

因为d1d570335d2060a8200297a2639a3863.png平面a6e9f59d8acdb5cb54ccffe3a98bb825.png，所以2d13a99e929be8f853f78bd21a80dc2d.png．

解之得3d25e4a1a7ba4575347e29980c0a47dd.png，所以b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的长为6002dc96446f2a2910a2888d3dbfb115.png．

方法二：如图，在平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png内过点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png作9b239733ce0481d4d7ab5279c43feb37.png的垂线分别交f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png和52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png于69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，连接7b6166324dc52f374d908e03602b1daf.png，

在平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png内过点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png作f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的垂线交4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png于e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，连接1d00e7dce692e8dc3f6877f035e3a616.png．

依题意易得，b3e73b739e35300811c3342ee006b50d.png，69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png五点共面．

因为e459af2dc1b587751a9b1a5b657facc2.png平面a6e9f59d8acdb5cb54ccffe3a98bb825.png，所以9abc5701998bfa0fb07699d1efc4cbca.png．①

在94c396d32283125f326fff24965ff633.png中，2610893bfcdcf5bc9ead6b18b89ee9c1.png，725e4262d887ecf5cf56c5a0cdcc6be1.png，因此8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png为线段52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png靠近9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的三等分点．

由对称性知，69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为线段f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png靠近9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的三等分点，因此16374cc487719dd16b4fd628d630ce1d.png，1fa704cde82009788db22e748e684259.png．

代入①，得939eb5adfe2902a77664204740da19e9.png．

（2）由（1）方法一可知，a44fb35e0fe36627f30593012d638a5c.png是平面a6e9f59d8acdb5cb54ccffe3a98bb825.png的一个法向量且722664e7bd57ae4d28774c514f4b9ab8.png，0bbf4857b495cbf4331a98012ecd2bdd.png．

设平面3357c2e18fac1d0c7c8433369e511b5e.png的法向量为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png，则14952183c4cd344c50c66ed42ade10b9.png可以为3da5392f7e99636f3f393682908e69c9.png．

8920c98c343ba746488cc7f6ca6168b1.png．

因为二面角9b2c6a8f3038172a985feeb7419ce1f7.png为锐角，故所求二面角9b2c6a8f3038172a985feeb7419ce1f7.png的余弦值为7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png．

20．【答案】（1）7cdd10dd857d8d8d5071ff43625ebbad.png；（2）3fb5f8922fb366c96e32cbfc67dab0e0.png．

【解析】（1）因为6bbd9c0f86932451d004701728f9a2f1.png，在抛物线方程49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png中，令29029c334d0b2d2495949e88991cc105.png，可得a9475f19bba16165c2b9e44999f11500.png．

于是当直线与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴垂直时，1d48e429fc9ddc300886e7706fdbfb79.png，解得905b566b5fb4359eb506b353ea3775f2.png．

所以抛物线的方程为7cdd10dd857d8d8d5071ff43625ebbad.png．

（2）因为抛物线7cdd10dd857d8d8d5071ff43625ebbad.png的准线方程为e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png，所以dfe87bdf99f3e05ef111f819baf761f9.png．

设直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的方程为de1edca1d87138fa1b61b2997e47ca84.png，

联立d5b2a19cc4f1eb1348cf0453f9778a86.png消去9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，得25365c3d4312ec89b0df7e29efc3434e.png．

设36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png，0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，则c8ecf4983ed281b24bd6c70310ca4cb6.png，82f2b69b6f547adfea9db6d62fbee45c.png．

若点3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png满足条件，则656091b548b7c5a92e8ecd845404fcbf.png，

即5eac88ceb49198a65dc9b86bf60cfe4f.png，

因为点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png均在抛物线上，所以b76b486e3e56016420f7fd0c638616fe.png，f391d00cee735916c0785bd105656773.png，38d8209de553d44a98ef9dd7d4d5231e.png．

代入化简可得d447724459f666815f1be44e5665876a.png，

将c8ecf4983ed281b24bd6c70310ca4cb6.png，82f2b69b6f547adfea9db6d62fbee45c.png代入，解得d0755273de666054c7ba42281423fd38.png．

将d0755273de666054c7ba42281423fd38.png代入抛物线方程，可得73547acb4a3fc3002fd596aa027dbdc1.png．

于是点3fb5f8922fb366c96e32cbfc67dab0e0.png为满足题意的点．

21．【答案】（1）3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png；（2）见解析．

【解析】（1）由题意，函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的定义域为1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png，其导函数a5aa67f76570b4261aaf1d8a526d021f.png，

记c56b17d4d745b92409620469dee9250d.png，则a2589b942533d586d4c3d051419c09d3.png．

当90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png时，a5b5ee387cc515adecead5ef655a70de.png恒成立，所以bf3cc25c2d752823ab942d0912424f81.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递增，且2be58e42d287325b730e549b2dc92a85.png．

所以6806dca9b8e4422280497c003d8e4457.png，有8029cceef803841d49a2e06df7f8f580.png，故90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png时不成立；

当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，若ef041184da62e18e93f472e42666840d.png，则ee010a7d30161f50099c3c9251b1a23d.png；若ae5f03605e1d06bdcea68f31d89e5431.png，则6d40996af413cd69f1c25e64da480239.png．

所以bf3cc25c2d752823ab942d0912424f81.png在c488f46140b1f90f6869b16c188caaf4.png单调递增，在8d4eb15c66ad70febdb4dd33a002ab91.png单调递减．

所以605c9ed5bec6a5e5db5d82c76a25c848.png．

令464b9f61d76b80713cb508cb45f05c72.png，则28ff75a2c0461eaca71fc05eaf19ea15.png．

当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时，b1cd5f371dca4d033467bc8a9cb5561d.png；当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png时，ee5614413e713aab418b260be28bcbb6.png．

所以a529d1fa43634af4e0af78e8cb906dd0.png在7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png的单减，在2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png单增．

所以f2c0cbae6d928be531690f5fda9afaa1.png，故3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png．

（2）当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时，b0175f6a54d557d5c05d4f0eccc3e508.png，则eaa56d145ce212a15e1f70ba9e36b888.png．

由（1）知d8e44ae3d021a06681f1536da3379cfb.png恒成立，

所以b0175f6a54d557d5c05d4f0eccc3e508.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递减，

且dd7e5eca5f3a53c2d7871bf17b6523b6.png，52894d361ca7e822c5182d38eb508242.png，

不妨设ead636dd8e81f7ffc2441e7abad2b759.png，则ddd7b7650a5c19f541d3ea044c0099f5.png，

欲证5ed528f655e57e2e3c6ff5c0b702c8ce.png，只需证60f18fbf80eaa776abc2b772bf5dcb19.png，

因为ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递减，则只需证862126ccae123a7f3505c6adf10462eb.png，

又因为6ea9a8fe7b06b2a2cc00373c0fa63e2b.png，则只需证1742a882c28e7f63b9a36f22c2f699fb.png，即b5cd6aee5a0776b7c7fad68c1b247e2a.png．

令8388069ac2c3fe4b057f09fb25da0b17.png（其中ef1fe79df71128a6124385f59e835e39.png），且96047f1a0ffe5ae78feac025e7d6ccb1.png．

所以欲证b5cd6aee5a0776b7c7fad68c1b247e2a.png，只需证fb3973c31aa664b9a3bfb39a0020997a.png，ef1fe79df71128a6124385f59e835e39.png，

由93c75df545390f1b368d52e14bb16cc9.png，

整理得76aabbaf0769302171742c70d40e7ab4.png，

626fcc548ca5975d04c2faf06ba43c08.png，ef1fe79df71128a6124385f59e835e39.png，

所以1ab067a072fa562d8383c2f67caeb200.png在区间7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png上单调递增，

所以66573e0c13384c69bcb595f9d9751ee9.png，2053ac20fe9e45e03970f8405586e6ac.png，

所以函数8388069ac2c3fe4b057f09fb25da0b17.png在区间7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png上单调递减，

所以有fb3973c31aa664b9a3bfb39a0020997a.png，ef1fe79df71128a6124385f59e835e39.png，

故5ed528f655e57e2e3c6ff5c0b702c8ce.png．

22．【答案】（1）14cc0b21ed09d29ed4cc52c1e96ead2f.png，395b26e50a860e9d66ec571cbd08dfbb.png；（2）c488b9b431e10fde9f43f76b210f8814.png．

【解析】（1）曲线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的圆心为99d27ed50e412de42c3411ec36f2849b.png，半径为2，把互化公式代入可得：曲线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的极坐标方程为73726975f084131de5b71110170adbbc.png．

设b9200324638344495f4cd110fc8eb41e.png，则431c2adf723faf60b286bd599f419a05.png，则有2fe304ac137292daec87f4a334e77b67.png．

所以曲线932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png的极坐标方程为2005c7f8267c29abc83ea732f42ae133.png．

（2）69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png到射线b070ef27980ad7f8364f3c770803de68.png的距离为76ab70a5afd1677ba44ca17775548934.png，

929c814f68510bd006d866808ea91b49.png，

则09ae607a70ef6bfb7188e373c120e826.png．

23．【答案】（1）8c80af6db2e3c5355bb114773cd8b464.png；（2）0d089dd2a0805107a3bfea6427e98325.png．

【解析】（1）ddfc72e59fa004cf60a252017dde2e06.png，4acc58c9fe15120517cf8e026aa5f1e0.png，fb7cc1aee869cafc1aa8cf2d0a722378.png，e5d673556aab873e28fbcd0465d96c15.png．

72f8af9c763396a885ebe700c97d190a.png，e369018b2783e58c7c2b6635a2e7573c.png，380e322236e340b0bb8aadd752c82215.png，127963797c0ff9362891e9d3bd1f99ce.png的取值范围8c80af6db2e3c5355bb114773cd8b464.png．

（2）由题意bb26404fa7c83b189684e7c892126a72.png恒成立，设fb35248440d7ecf0f171d23a331e69cc.png，

4fdbcc362305c10c8e28ec8146d5861a.png，

①ac52757b7547170a388abff164f2796b.png时，由函数单调性6f44a1397fb56643d87bcf52579f454b.png，afbf099e0dcadef2e6150b88c68dcdb6.png，ab6f1705e9058a4c6ad51f1273ba68cc.png，

②cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png时，ef823eae7581497f7d6c5ecf81b33e96.png，bfe6460b013340f178aa25be5febdf18.png，3a029a2dfe6971cc841093a693f892e8.png，

综上所述，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围0d089dd2a0805107a3bfea6427e98325.png．

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