大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为和
，则该球面的方程为______________________
2、函数在点
处沿点
指向点
方向的方向导数为
3、曲面与平面
平行的切平面方程为
4、
5、设二元函数，则
_______________
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面是（ ）
（A）．坐标面上的双曲线绕
轴旋转而成；
（B）．坐标面上的双曲线绕
轴旋转而成；
（C）．坐标面上的椭圆绕
轴旋转而成；
（D）．坐标面上的椭圆绕
轴旋转而成．
2、微分方程的一个特解应具有形式（ ）
其中都是待定常数.
(A).;
(B).;
(C).;
(D).
3、已知直线与平面
,则 （ ）
(A).在
内; (B).
与
不相交;
(C).与
正交; (D).
与
斜交.
4、下列说法正确的是（ ）
(A) 两向量与
平行的充要条件是存在唯一的实数
，使得
；
(B) 二元函数的两个二阶偏导数
,
在区域D内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；
(C) 二元函数的两个偏导数在点
处连续是函数在该点可微的充分条件；
(D) 二元函数的两个偏导数在点
处连续是函数在该点可微 的必要条件.
5、设且
（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则
（ ）
(A); (B)
;
(C); (D)
.
三、计算题（本大题共29分）
1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
(1)（6分）
(2)（7分）
2、（本题8分）设，
，
，求全导数
。
3、（本题8分）求函数的极值。
四、应用题（本题8分）
1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为台和
台，成本函数为
（万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？
五、综合题（本大题共21分）
1、（本题10分）已知直线，
，求过
且平行于
的平面方程．
2、（本题11分）设函数在球面
上求一点，使函数
取到最大值．
六、证明题（本题共12分）
1、设函数，其中
是常数，函数
具有连续的一阶偏导数．试证明:
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