海口市海港学校高一期末数学考试卷
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、的值为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2、下列函数中，周期为的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3、若，
，则
等于（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4、已知向量，
，则
与
（ ）
Ａ．垂直 Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向
5、等于（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6、如图1所示，是
的边
上的中点，则向量
（ ）.
A. B.
C.
D.
7、下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
8、已知向量，若
与
垂直，则
（ ）
A． B．
C．
D．4
9、函数的一个单调增区间是（ ）
A． B．
C．
D．
10、已知平面向量，
，且
//
，则
＝（ ）
A、 B、
C、
D、
11、已知向量，
，且
，则
的值为（ ）
A． B．
C．
D．
12、有下列四种变换方式:
①向左平移,再将横坐标变为原来的
; ②横坐标变为原来的
,再向左平移
;
③横坐标变为原来的,再向左平移
;④向左平移
,再将横坐标变为原来的
;
其中能将正弦曲线的图像变为
的图像的是（ ）
①和②
①和③
②和③
②和④
二、填空题（、本大题共4小题，每个小题5分，共20分）
13、若，则
的值是
14、在平面直角坐标系中，正方形的对角线
的两端点分别为
，
，则
15、若向量的夹角为
，
，则
16、函数的最小值为
二、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分14分）已知cosα=,cos(α-β)＝
，且0<β<α<
,
(Ⅰ)求tan2α的值；
（Ⅱ）求β.
18、（本小题满分14分）已知三个顶点的直角坐标分别为
，
，
．
（1）若，求
的值；
（2）若，求
的值．
19、（本小题满分14分））已知函数.
求
的最小正周期；
求
的单调区间；
若
，求
的最大值及最小值？
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ.
[解析] ∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4a2－4a·b－3b2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6.
∴cosθ＝＝－
.∴θ＝120°.
17．已知＝a，
＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°.
(1)求|a＋b|，|a－b|.
(2)求a＋b与a的夹角及a－b与a的夹角．
[解析] 如图，以、
为邻边作平行四边形OACB，
∵||＝|
|＝4，∠AOB＝60°，
∴四边形OACB为菱形．
(1)a＋b＝＋
＝
，a－b＝
－
＝
，
∴|a＋b|＝||＝2|
|＝2×
×4＝4
，
|a－b|＝||＝4.
(2)在△OAC中，∠OAC＝120°，
∴∠COA＝∠OCA＝30°，
a＋b与a所成的角，即∠COA＝30°，a－b与a所成的角，即与
所成的角，等于∠CBA＝60°.
15．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解之得
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)．
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.
15．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0、ω>0，|φ|<)的图象的一个最高点为(2,2
)，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于(6,0)点，试求这个函数的解析式．
[解析] 由图象最高点(2,2)知A＝2
.又由题意知从最高点到相邻最低点相交x轴于(6,0)，
∴＝6－2＝4，即T＝16.∴ω＝
＝
.
∴y＝2sin
.代入最高点坐标，得
2＝2
sin
，∴sin
＝1.
∴φ＝.∴函数解析式为y＝2
sin
.
15．已知<β<α<
，cos(α－β)＝
，sin(α＋β)＝－
，求sin2α的值．
[解析] ∵<β<α<
，
∴π<α＋β<，0<α－β<
.
∴sin(α－β)＝＝
＝
.
∴cos(α＋β)＝－
＝－＝－
.
则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝×
＋
×
＝－
.
18．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－<β<0<α<
，且sinβ＝－
，求sinα的值．
[解析] (1)∵|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝
，
又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
(2)∵－<β<0<α<
，∴0<α－β<π，
由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝
，
又sinβ＝－，∴cosβ＝
，
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×
＋
×
＝
.
22．(本题满分14分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；
(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
[解析] (1)由图知A＝3， T＝4π－
＝
，
∴T＝5π，∴ω＝，∴f(x)＝3sin
，
∵过(4π，－3)，∴－3＝3sin，
∴＋φ＝2kπ－
，∴φ＝2kπ－
，
∵|φ|<，∴φ＝－
，∴f(x)＝3sin
.
(2)由2kπ＋≤
x－
≤2kπ＋
得，
5kπ＋≤x≤5kπ＋4π (k∈Z)，
∴函数f(x)的单调减区间为 (k∈Z)．
函数f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为
{x|x＝5kπ＋，k∈Z}．
(3)解法一：f(x)＝3sin
＝3cos＝3cos
＝3cos，
故至少须左移个单位才能使所对应函数为偶函数．
解法二：f(x)＝3sin的图象的对称轴方程为
x－
＝kπ＋
，∴x＝
＋
，当k＝0时，x＝
，k＝－1时，x＝－π，故至少左移
个单位．
解法三：函数f(x)在原点右边第一个最大值点为－
＝
，∴x＝
，把该点左移到y轴上，需平移
个单位．
解法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把点变为
或把点(4π，－3)变为
等，可知应左移
个单位．
.
17．(本题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且函数y＝f(x)的图象经过点.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．
[解析] (1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x，
由已知f＝m
＋cos
＝2，得m＝1.
(2)由(1)得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x
＝1＋sin
，
∴当sin＝－1时，f(x)取得最小值1－
，
由sin＝－1得，2x＋
＝2kπ－
，
即x＝kπ－(k∈Z)
所以f(x)取得最小值时，x值的集合为
x|x＝kπ－，k∈Z.
20．（本小题满分14分）已知、
、
是同一平面内的三个向量，其中
.
（1） 若 | |=2，且
//
，求
的坐标；
（2） 若且
+2
与
—2
垂直，求
与
的夹角
.
21．（本小题满分14分）已知A（3，0），B（0，3），C（.
（1）若，求
的值；
（2）若求
的值.
海口港校高一期末数学考试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
二、填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17、解：
（Ⅰ）由，
，得
．
∴．
于是
（Ⅱ）由，得
．
又∵，
∴．
由，得
∴
18、.解:
(1)
由 得
(2)
19、（1）
（2）由解得
，函数
的单调增区间为
（
）
由解得
，函数
的单调减区间为
（
）
（3），
所以，当x=0时，的最大值为1，当x＝
时，
的最小值为－
.
20、解：(1)
(2)
解得
21、解：（1）
由
两边平方得
（2）
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0a93fd05a6c30c2259019e91.html
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