单调有界

单调有界定理

　　2.4.3　实数的连续性

　　实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性. 正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。

　　定理2.4.3（单调有界定理）　若数列{an}单调增加且有上界，则数列{an}收敛。

　　证明：我们不妨假设an ≥0，否则，存在某个有理数c>0，使an′= an+c≥0，从而由讨论数列{ an}变为讨论数列{ an′}。

　　由引理2.4.1知，数列{ an}稳定于某个实数a＝ ，下面证明，a 就是数列{ an}的极限。

　　事实上， ＞0， n0 N，当n≥n0时， ＜ 。由引理2.4.1知，

　　an 0 …，an k …，

　　对于充分大的n0，当n＞n0时，有

　　an＝ ，

　　︱an-a︱=︱ - ︱

　　　　　　≤ < ，

　　即 =a

推论4.1　若数列｛an｝单调减少（即an≥an+1），且有下界M（an≥M），则数列｛an｝收敛。

　　证明：令an′＝ -an。由于an≥an+1且有下界M′，则可得an′≥an+1 ′且an′≤M＝- M′，由定理2.4.3知 ′＝a′。从而有 = a = - an′

　　例1　设a0＞0，b>0，an＝ （ ），n=1，2，…，证明数列｛an｝收敛，并求其极限。

　　证明：不难看出， n N，有an＞0，根据几何平均不超过算术平均， n N，有

　　an＝ （ ）≥（ ） ＝b ，

　　即数列｛an｝有下界 。

　　 n N，有

　　an+1-an＝ （ ）- an＝ （b-an2）≤0，

　　即数列｛an｝单调减少。

　　根据推论4.1，数列｛an｝收敛，设 ＝a，由极限的单调性，有a≥ >0。

　　对等式an+1＝ （ ）两端取极限得a= （a+ ），因a>0，得a= 。

　　注4.4　当b=2时， 是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛an｝收敛于无理数 。

求极限的方法小结

阮正顺

极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：

一、利用极限四则运算法则

对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。

例 1.

   2.

二、利用两个重要极限

两个重要极限为：或使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

例 1.

   2.

三、利用夹逼准则求极限

关键在于选用合适的不等式。

例 1.

   2. 设，且求

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。

例1. 设，

求极限。

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1.       2.

六、利用函数连续性求极限

设在点处连续，则。

例 1.      2.

七、利用洛必达法则求极限

洛必达法则对求未定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，前面出现的许多极限都可以使用此法则。使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大的简化运算。

例 1.

   2.

   3.

八、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限

设函数在的某个邻域内有定义，且存在，则对该邻域内任意点有如下表示式成立

此式称为的具有皮亚诺余项的阶麦克劳林展式，对某些教复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决。必须熟悉一些常用的展式，如：

计算过程中，要注意高阶无穷小的运算及处理。

例 

九、利用定积分定义及性质求极限

若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间。

例 1.

   2.

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。

例 

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例  求

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