2019-2020年高二数学 7.5曲线和方程（第一课时）大纲人教版必修

2019-2020年高二数学 7.5曲线和方程(第一课时)大纲人教版必修

课时安排

4课时

从容说课

曲线的方程和方程的曲线，是解析几何的重要概念，我们己知，在建立了直角坐标系之后，平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应的关系.然而曲线是由具有某种特征的点集在一起所形成，即曲线为点集，既然平面内的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了一一对应关系，那么对应于符合某种条件的一切点，它的坐标是应该有制约的，也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束.这种约束可由两变数x、y的方程f(x,y)=0来表明.于是符合某种条件的点的集合，就变换到x、y的二元方程的解的集合.这两个集合应具有这样的对应关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.

于是，一个二元方程也就可以看作它的解所对应的点的全体组成的曲线；二元方程所表示的x、y之间的关系，就是以（x、y）为坐标的点所要符合的条件，这样的方程就为曲线的方程；反之，这条曲线就叫做这个方程的曲线，所以探求符合某种条件的点的轨迹问题，就变为探求这些点的坐标应受怎样的约束条件的问题.通过对本节的学习，应初步掌握求曲线的方程的基本方法、步骤.

●课 题

§7.5.1 曲线和方程（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.曲线的方程.

2.方程的曲线.

（二）能力训练要求

会用曲线和方程的概念直接判断比较简单的曲线和方程间的关系.

（三）德育渗透目标

渗透数形结合思想.

●教学重点

曲线的方程和方程的曲线.

曲线C和方程F（x,y)=0必须满足两个条件：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.这时，才能把这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.

●教学难点

对曲线的方程和方程的曲线间的对应关系的理解.

●教学方法

启发引导法

●教具准备

投影片两张

第一张：记作§7.5.1 A

第二张：记作§7.5.1 B

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］在本章开始时，我们研究过各种直线的各种方程，详细讨论了直线和二元一次方程的关系，下面哪位同学给大家叙述一下它们的关系？

［生甲］在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x、y的二元一次方程.

［生乙］在平面直角坐标系中，任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.

［师］这两位同学所描述的都正确，即直线和二元一次方程的关系是将其两者综合起来便更加完整、准确.

如，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x-y=0.

（打出投影片§7.6.1 A)

也就是说，如果点M（x0,y0)是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0)是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.

那么，一般的曲线和方程的关系又如何呢？下面，我们进一步研究一般曲线（包括直线）和方程的关系.

Ⅱ.讲授新课

大家知道，函数y=ax2的图象是关于y轴对称的抛物线.即这条抛物线是所有以方程y=ax2的解为坐标的点组成的.

（打出投影片§7.6.1 B)

也就是说，如果M（x0,y0)是抛物线上的点，那么（x0,y0)一定是这个方程的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=ax2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上.这样，我们就说y=ax2是这条抛物线的方程.

再如y=sinx是正弦曲线的方程，y=cosx是余弦曲线的方程，等等.

综上所述，一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

由曲线的方程的定义，还可得到：

如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.

［师］下面我们来看一例子.

［例］（1）证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25；

（2）并判断点M1（3，-4）、M2（-2，2）是否在这个圆上.

分析：（1）要想证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25.即要证所有到坐标原点的距离等于5的点的坐标都是方程x2+y2=25的解.（或者说任一到坐标原点的距离等于5的点P（x0,y0)的坐标x0,y0均满足x02+y02=25).且要证以方程x2+y2=25的解为坐标的点都在圆上（或者说方程x2+y2=25的任一解（x0,y0)，以(x0,y0)为坐标的点到坐标原点的距离等于5）.

（2）若要判断某点是否在圆上，则只要看其坐标是否满足圆的方程即可.

（1）证明：设M（x0,y0)是圆上任意一点，则

｜OM｜=5

即

∴x02+y02=25,

即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解.

（2）解：设(x0,y0)是方程x2+y2=25的任一解，那么x02+y02=25.

即,

∴点M（x0,y0)到原点的距离等于5，点M(x0,y0）是这个圆上的点.

由（1）、（2）可知，x2+y2=25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程.

把点M1（3，-4）的坐标代入方程x2+y2=25,左右两边相等，（3，-4）是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2（-2，2）的坐标代入方程x2+y2=25，左右两边不等，（-2，2）不是方程的解，所以点M2不在这个圆上.

如图所示：

［师］下面请同学们结合练习认真体会.

Ⅲ.课堂练习

［生］（板演练习）课本P69 练习1，2，3.

1.解：设到两坐标轴距离相等的点P（x,y).

则｜x｜=｜y｜,

即:x=±y

∴x±y=0,

∴到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是x±y=0而不是x-y=0.

2.解：如图所示：

等腰三角形△ABC的中线为线段AO.

∴AO的方程是x=0(0≤y≤3)

注：AO所在直线的方程为x=0.

3.解：根据题意可得：

word/media/image5_1.png

解之得

答：a，b的值分别为16，9.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要理解曲线的方程和方程的曲线，曲线C和方程F（x,y）=0必须满足两个条件：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.

这时，才能把这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P72习题7.6 1，2.

(二）1.预习内容：课本P69～71

2.预习提纲：

求简单的曲线方程的基本步骤有哪些？

●板书设计

2019-2020年高二数学 7.5曲线和方程(第二课时)大纲人教版必修

●教学目标

（一）教学知识点

根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.

（二）能力训练要求

1.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.

2.会判断曲线和方程的关系.

（三）德育渗透目标

1.提高学生的分析问题能力.

2.提高学生的解决问题能力.

3.培养学生的数学修养.

4.增强学生的数学素质.

●教学重点

求曲线方程的步骤：

（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；

（2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标；

（3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0；

（4）化方程F(x,y)=0为最简形式；

（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

●教学难点

依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.

●教学方法

启发引导法

启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.

●教具准备

投影片两张

第一张：记作§7.5.2 A

第二张：记作§7.5.2 B

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾.

［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

Ⅱ.讲授新课

不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.

而且，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.

当今，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.

它主要研究的是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

（2）通过方程，研究平面曲线的性质.

［师］下面我们首先讨论求曲线的方程.

［例2］设A、B两点的坐标是（-1，-1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.

分析：线段AB的垂直平分线上的任一点M应满足条件：｜MA｜=｜MB｜

（打出投影片§7.5.2 A)

解：（1）设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，则｜MA｜=｜MB｜

即

整理得，x+2y-7=0 ①

由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；

（2）设点M1的坐标(x1,y)是方程①的解，

即x1+2y1-7=0,

x1=7-2y1

点M1到A、B的距离分别是

｜M1A｜=

∴｜M1A｜=｜M1B｜

即点M1在线段AB的垂直平分线上.

由（1）、（2）可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程.

［例3］点M与互相垂直的直线的距离的积是常数k(k＞0)，求点M的轨迹.

分析：应建立适当的坐标系，不妨就取互相垂直的直线为坐标轴.

解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系.

（打出投影片§7.5.2 B)

设点M的坐标为(x,y)，点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的点的集合：

P={M｜｜MR｜·｜MQ｜=k},

(其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足）

因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，

∴｜x｜·｜y｜=k

即x·y=±k ①

(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；

（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解，那么x1y1=±k,

即｜x1｜·｜y1｜=k.

而｜x1｜、｜y1｜正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.

由（1）、（2）可知，方程①是所求轨迹的方程.

下面，请同学们打开课本P72.

Ⅲ.课堂练习

［生］（板演练习）练习1、2.

［生甲］1.解：设点M（x,y)是到坐标原点的距离等于2的任意一点，则点M属于集合

P={M｜｜OM｜=2}

∴=2

即x2+y2=4 ①

(1)由求方程的过程可知，到坐标原点的距离等于2的点M的坐标都是方程x2+y2=4的解.

（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解，

即x12+y12=4

整理得y12=4-x12

点M1到坐标原点的距离为：

｜OM1｜=

即｜OM1｜=2

∴M1到坐标原点的距离为2，也就是说以方程x12+y12=4的解为坐标的点到坐标原点的距离为2.

由（1）、（2）可知，方程x2+y2=4是到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程.

［生乙］2.解：设点M的坐标为（x,y)

则，点M属于集合：

P={M｜｜y｜=｜MF｜}

即｜y｜=

整理得：x2-8y+16=0.

(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；

（2）过点M1的坐标（x1,y1)是方程①的解，

那么，x12-8y1+16=0

即x12+(y12-8y1+16)=y12

=｜y1｜

而｜y1｜正是点M1到x轴的距离正是点M1到点F（0，4）的距离.

因此点M1到x轴的距离和点M1与点F（0，4）的距离相等.

由（1）、（2）可知，x2-8y+16=0是到x轴的距离和到点F（0，4）距离相等的点的轨迹方程.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要掌握求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件P的点M的集合

P={M｜P(M)};

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;

（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.

另外，根据情况，也可省略步骤（2），直接列出曲线方程.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P72习题7.6 3,4,5,6

（二）1.预习内容：课本P71～72.

2.预习提纲：

（1）怎样求一些较复杂的曲线的方程？

（2）怎样通过曲线的方程求两条曲线的交点？

●板书设计

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/09b6633bf9c75fbfc77da26925c52cc58ad6902e.html