石家庄市第一中学2011届高三数学（理）补充试题
1.已知集合 P = {x∈N | 1≤x≤10}，集合Q = {x∈R | x2+x－6=0}，则P∩Q等于( A )
A． {2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2. (1－i)2·i=( D ）
A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2
3.不等式组的解集为 （ C ）
A． B．
C．
D．
4. 双曲线的两条渐近线与直线
围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ A ）
A． B.
C.
D.
5.若，则( C )
A． B .
C .
D.
6.若函数f (x)=, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A )
A.单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
7.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是（ C ）
（A）7 （B） （C）21 （D）
8.设，函数
，则使
的
的取值范围是（ C ）
A. B.
C.
D.
9.设椭圆的两个焦点分别为，过
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
，若
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ）
A. B .
C .
D .
10.函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）
A. B.
C.
D.
11.若动点在曲线
上变化，则
的最大值为（ A ）
A． B．
C．
D．
12. 设,
,
,点
是线段
上的一个动点,
,若
,则实数
的取值范围是（ B ）
A. B.
C.
D.
二、填空题：
13.已知，
，则
－2 .
14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 x2+y2=4 .
15．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m = 1
16.已知在中，
，
是
上的点，则点
到
的距离乘积的最大值是 3 .
三、解答题：
17.如图，函数y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求
解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1）
所以,即
,因为
所以
.
(Ⅱ）由函数及其图象，得
所以
从而
,故
.
18．某运动员射击一次所得环数的分布如下：
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
()求该运动员两次都命中7环的概率;
()求
的分布列;
() 求
的数学期望
.
解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；
(Ⅱ) 的可能取值为7、8、9、10.
;
;
;
.
分布列为
(Ⅲ)的数学希望为
.
19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.
解法一：
平面
，
又，
由平面几何知识得：.
（Ⅰ）过
做
交于
于
，连结
，则
或其补角为异面直线
与
所成的角，
四边形
是等腰梯形，
又
四边形
是平行四边形。
是
的中点，且
又，
为直角三角形，
在中，由余弦定理得
故异面直线PD与所成的角的余弦值为
（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，
为二面角
的平面角
，
,
二面角
的大小为
（Ⅲ）连结，
平面
平面
，
,又在
中，
，
，
故时，
平面
.
解法二：
平面
,
,又
，
，
由平面几何知识得：
.
以为原点，
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为
，
，
，
，
，
（Ⅰ）
，
，
.
.
故直线与
所成的角的余弦值为
.
（Ⅱ）设平面的一个法向量为
，
由于，
，
由 得
取，又已知平面ABCD的一个法向量
，
又二面角为锐角，
所求二面角
的大小为
（Ⅲ）设，由于
三点共线，
，
平面
，
,
由（1）（2）知：
，
,
,
故时，
平面
.
20.在等差数列中，
，前
项和
满足条件
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列
的前
项和
。
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为
,由
得：
，所以
，即
，又
＝
，所以
.
（Ⅱ）由，得
。所以
，
当时，
；
当时，
，
，
即.
21.设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
（II）设
由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
22.已知函数，
(Ⅰ）求的单调区间和值域；
（Ⅱ）设，函数
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，求
的取值范围.
解：对函数求导，得
令解得
或
当变化时，
、
的变化情况如下表：
所以，当时，
是减函数；当
时，
是增函数； 当
时，
的值域为
.
（Ⅱ）对函数求导，得
因此，当
时，
因此当时，
为减函数，从而当
时有
又，
，即当
时有
任给，
，存在
使得
，则
即
解式得
或
解式得
又，
故：的取值范围为
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