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江苏省扬州市高邮市第一中学2020-2021学年高三上学期9月阶段性测试数学试题

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江苏省扬州市高邮市第一中学2020-2021学年高三数学阶段性测试
一､选择题
1.已知集合A=xyx1，Bx1＜x＜2，则AB（）A.1,1C
求出集合A的范围，直接进行交集运算即可得解.
A=xyx1=x1，

B.1,1C.1,2D.1,2

故ABx|1x2，故选：C.
本题考查了集合交集的运算，考查了求函数定义域，在求集合时，注意描述对象的确定，属于简单题.
2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞上单调递增的是(A.yC.ylgxB
先判断函数的奇偶性，再依据单调性进行选择．
11y为奇函数；ylgx的定义域为(0，＋∞，不具备奇偶性；y是偶函数但在(0，x2
x
1
x
B.yx1
1
D.y
2
x
＋∞上为减函数；yx1在(0，＋∞上为增函数，且在定义域上为偶函数．故选B本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性的应用．
13
3.函数fxln2xx的图象在点,
2A.yA
53x44
1
f处的切线方程为（）2
C.y
11x44
5
B.yx2
41
D.yx
4
1
利用导数求出切线的斜率，求出f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
21351112
f依题意，，fx3x，故切线斜率kf2，
448x22
1



15315
所求切线方程为yx，即yx.故选：A
24484
本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
32
4.对任意xR，函数fxaxax7x不存在极值点的充要条件是（）
A.0≤a≤21A
B.0a21C.a0或a21
求出导函数f(x，由方程f(x0没有变号的实数解即可得．
2
由题意fx3ax2ax7，f(x不存在极值点，
.
D.a0或a21
a0时，f(x70，f(x单调递增，无极值点；
a0时，则4a284a0，解得0a21，综上0≤a≤21．故选：A．
本题考查用导数与函数的极值的关系，对于可导函数，如果导函数存在变号的零点，则原函数有极值．如果没有变号的零点，则原函数无极值．
5.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日:以弦乘矢，矢又自乘，并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=
1
（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧(弧田弧和以圆2
弧的端点为端点的线段(弧田弦围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为（）A.D
利用弧田面积公式可求出矢长，继而求出半径和圆心到弧田弦的距离，则可求出cos∠AOD，由二倍角可求出cos∠AOB.
1
25
7
平方米，则cos∠AOB=2
725
B.
3251C.
5
D.
2




如图，由题意可得：AB=6，弧田面积S=
711
（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米．222
解得矢=1，或矢=-7（舍），
设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，
rd1
则22，解得d=4，r=5，r9d∴cos∠AOD=
d4，r5
∴cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=
327
-1=．故选：D．
2525
本题考查传统文化题目，考查二倍角，属于基础题.
1
6.函数f(xln|x|的图象大致为（）
x
A.B.
C.D.
A
3



当x0时，利用导数可得f(x在(0,1上递减，在(1,上递增，故排除B,C，根据f(e0排除D，则可得答案.
111x1
f(xlnxx0当时，，f(x22，
xxxx
由f(x0得x1，由f(x0得0x1，
所以f(x在(0,1上递减，在(1,上递增，故排除B,C，又f(eln|e|
11
10，故排除D.故选：A.ee
本题考查了根据函数解析式选择图象，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.
1
7.已知cos2cos，且tan，则tan的值为（）
32A.-7B
由了诱导公式得sin2cos，由同角三角函数的关系可得tan再由两角和的正切公式tan
tantan
，将tan
1tantan
B.7C.1D.-1
2，
2代入运算即可.

解：因为cos2cos，
2
所以sin2cos，即tan2，
1
又tan，
3则
tantan1
，
1tantan3
解得tan=7，故选B.
本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.
ex2
8.设函数fxtlnxx恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）
xx1
A.,
2
1
B.,
2
1e,,D.23
1ee
,,C.233
4



C
fx恰有两个极值点，则f
x0恰有两个不同的解，求出fx可确定x1是它的一个解，
exex另一个解由方程t0确定，令gxx0通过导数判断函数值域求出方程有一
x2x2
个不是1的解时t应满足的条件.由题意知函数fx的定义域为0,
，fx
x1ex1t1
x2

x
2x2
ex
etx2x1x2tx1.x2x22
x
x
因为fx恰有两个极值点，所以f
x
0恰有两个不同的解，显然x1是它的一个解，另一
ex
t0确定，且这个解不等于1.个解由方程
x2
x1e0ex
gx令gx，所以函数gx在0,x0，则2
x2x2
x
上单调递增，从而
ex21e1e
gxg0，且g1.所以，当t且t时，fxtlnxx恰有两个极
xx2233
1ee
值点，即实数t的取值范围是,,.故选：C
233
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二､多选题
9.下列四个函数中，最小值为2的是（）
1
0xA.ysinxsinx2
x261
(x0,x1C.yB.ylnxlnxx25
AD
D.y4x4x
由基本不等式的适用条件和取等号的条件，逐项判断即可得解.对于A，当0x
ysinx

2
时，sinx0，
11
2sinx2，当sinx1即x时，等号成立，
2sinxsinx
5



所以ysinx
1
0x的最小值为2，故A正确；sinx2
对于B，当0x1时，ylnx对于C，y
1
0，故B错误；lnx
x26x5
2
x25
1x5
2
2
x25
1x5
2
2，
当且x251时，等号成立，但x255，所以y
x26x5
2
的最小值不为2，故C错误；
对于D，y4x4x24x4x2，当且仅当4x1即x0时，等号成立，所以y4x4x的最小值为2，故D正确.故选：AD.
本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
10.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为P2m,m（m0），则下列各式一定为负值的是（）A.sincosAB
由终边上一点的坐标，根据m与0的大小关系分类讨论坐标所在象限，应用同角三角函数的坐标表示，可得正、余弦及正切函数值，进而判断选项的正误由题意知：(1若m>0时，有
sin
121
,cos,tan
255
B.tanC.cossinD.cos2
233
sincos,cossin,cos2∴
555
(2若m<0时，有
sin
121,cos,tan
255
233
sincos,cossin,cos2∴
555
综上，知：一定为负值的有tan、sincos
6



故答案为：AB
本题考查了同角三角函数，根据已知角终边上一点结合分类讨论的方法确定各函数值、应用二倍角余弦公式求值，最后判断由它们组成的三角函数的符号
11.已知函数fxAsinx（其中A0，0，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.函数fx的图象关于x
2
直线对称

B.函数fx的图象关于点,0对称
12
fxC.函数在区间，上单调递增
36
238
D.y1与图象yfxx的所有交点的横坐标之和为
12123
BCD
根据图象求出函数解析式，再判断各选项．
2225
2sin22由题意A2，T4，∴，又2，
3312
4π
2k,kZ，又，∴，326
f(x2sin(2x．∴
6∵2

2


6

7
，∴x不是对称轴，A错；
26

sin20，∴,0是对称中心，B正确；
12126
7




x，时，2x,，∴f(x在,上单调递增，C正确；
6223636
15
2sin2x1，sin2x，2x2k或2x2k,kZ，
6266666
即xk或xk选：BCD．
关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数f(x的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出2x

3
，kZ，又

12
x
4238
，∴x0,,,，和为，D正确．故12333

6
的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．
12.已知lnx1x1y120，x22y22ln260，记M(x1x22(y1y22，则（）
16
54
C.M的最小值为
5
A.M的最小值为
B.当M最小时，x2D.当M最小时x2
145
125
AB
根据条件可将M(x1x22(y1y22的最小值，转化为函数ylnxx2图象上的点到直线
x2y62ln20的距离的最小值的平方，结合两直线的位置关系和导数的几何意义，即可求
解.
由lnx1x2y120和x22y22ln260，则M(x1x22(y1y22的最小值，
可转化为函数ylnxx2图象上的点到直线x2y62ln20的距离的最小值的平方，又由ylnxx2，可得y
1
1，x
因为与直线x22y22ln260平行的直线的斜率为
1，2
11
所以1，解得x2，则切点坐标为(2,ln2，
x2
所以(2,ln2到直线x22y22ln260上的距离d
22ln262ln2
5

45
，5
45
，5
即函数ylnxx2上的点到直线x2y62ln20上的点的距离的最小值为d
8



2
所以M(x1x22(y1y22的最小值为d
16，5
又过(2,ln2且与直线x2y62ln20垂直的直线为yln22(x2，即2xy4ln20，
2xy4ln2014
联立方程组，解得x，
5x2y62ln20即当M最小时，x2
14
.故选：AB5
本题主要考查了函数与方程综合应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，合理转化求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三､填空题
1113.化简：(32(0.25
e2
1
2
4
ln1

_______________.
1
本题根据根式运算与分数指数幂的运算直接计算即可.
11解：(32(0.25
e2
1
2
4
ln1

|3|0.54321，
故答案：1.
本题考查根式的运算与分数指数幂的运算，是基础题.
2
14.函数y2cos3x1的最小正周期为________.
13
由余弦的倍角公式知ycos(6x，结合最小正周期T
2
即可求出最小正周期||
y2cos23x1cos(6x由余弦函数的最小正周期T
221
知：T
||63
1
故答案为：
3
本题考查了已知三角函数求最小正周期，首先根据三角恒等变换中的余弦倍角公式化简，再结合三角函数的周期公式求最小正周期
15.已知0a1，0b1，且4(ab4ab3，则a2b的最大值为_______________.
9



32
先根据4(ab4ab3得4a11b10，故a
1
a2b21b3，再根据基本不等式即可求解.
41b
1
1，进而得
41b
解：因为4(ab4ab3，所以4a4b4ab30，所以4a1b4b110，所以4a11b10，所以a
1
1，
41b
111
12b21b321b3，
41b41b41b
所以a2b
1
0，21b0，因为0b1，所以1b0，所以
41b
11
21b221b2，所以
41b41b1
21b，即b12，a12当且仅当
41b421a2b21b332，所以
41b
时等号成立；
当且仅当
1
21b，即b12，a12时等号成立；
41b42
故答案为：32
本题考查跟据条件等式，结合基本不等式求和的最值问题，考查化归转化思想，运算能力，是中档题.
16.已知定义在R上的奇函数f(x，满足f(2xf(x0，当x0,1时，f(xlog2x，若函数F(xf(xsin(x，在区间1,m上有10个零点，则m的取值范围_______________.
7,42
10



转化条件为f(xsin(x，作出函数yfx及ysinx在1,1的图象，数形结合可得
f(xsin(x在1,1上的解，再由函数的周期性即可得解.
令F(xf(xsin(x0，则f(xsin(x，
因为f(x是定义在R上的奇函数，且f(2xf(x0，所以f(xf(2xf(x2，f(00，所以函数fx的周期为2，
又函数ysinx也是周期为2的奇函数，当x0,1时，f(xlog2x，所以在同一直角坐标系中作出函数yfx及ysinx在1,1上的图象，如图，

11
所以f(xsin(x在1,1上的解为x11，x2，x30，x4，
22所以函数Fx在1,上的零点依次有：
135791
1，，0，，1，，2，，3，，4，，
222222
7
若函数F(x在区间1,m上有10个零点，则m,4.
27
故答案为：,4.
2
本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了函数零点的解决及数形结合思想，属于中
11



档题.四､解答题
π4π1
17.已知0<α<<β<π,cos-,sin(α+β=.
2543π
(1求sin2β的值;(2求cos的值.
4
782-3
（1）；（2）.
915

21根据同角的三角变换可得cos，再根据倍角公式化简原式，代入已知条件即可2



2先根据已求得的三角函数值确定，的范围，再通过配凑角的方法将要求的式子通过配
凑，得到与已知角和
π
(1sin2β=cos-2=cos
2

4
之间的关系，通过两角和与差公式展开即可求得
2
ππ712-2-=2cos-1=2×-1=.4493
(2因为0<α<
ππ3ππ
<β<π,所以<α+β<,所以sin->0,cos(α+β<0,2224
4π1
又因为cos-,sin(α+β=,
5433π22
,cos(α+β=-,所以sin-
534π
cos所以=cos4
ππ3142282-3π
-(--=cos(α+βcos+sin(α+βsin.-=-444535315
本题考查了倍角公式和半角公式以及两角和与差的公式，熟练掌握公式的应用是解题的关键，还要能够配凑出角的值．18.已知aR，函数f(xa
1.|x|
（1）当a1时，解不等式f(x2x；
12



（2）若关于x的方程f(x2x0在区间2,1上有解，求实数a的取值范围.
9
1,；（1）（2）,3.
2（1）f(x2x转化为1
1
2x，然后对x0和x0进行分类讨论即可|x|
（2）f(x2x0a
1
2x0，由于x2,1，利用参变分离法，可得，|x|
11
a2x，令g(x2x，讨论g(x在x2,1，的值域，即可得到实数a的取值范围
xx（1）当a1时，f(x1
11
12xf(x2x，所以
|x||x|
①若x0，则1所以x1；
1(2x1(x112x变为，0x0或x1，|x|x2
212xx12x变为，②若x0，则10x0，|x|x
所以x由①②可得，1
1
2x的解集为1,.|x|
（2）f(x2x0a
1
2x0，|x|
1
即a2x其中x2,1
x令g(x2x
1
，其中x2,1，x
对于任意的x1､x22,1且x1x2，
11
则gx1g(x22x12x2
x1x2

x1x22x1x21
x1x2

13



由于2x1x21，
所以x1x20，x1x20，1x1x24，所以2x1x210所以
x1x22x1x21
x1x2
0，故gx1g(x2，
所以函数g(x在区间2,1上是增函数所以
9
g(2g(xg(13，2
99a,3g(x,3即，故22(说明g(x2x
1
的单调性可以用定义也可以求导证明，不写过程扣2分x
本题考查利用函数值域求解参数范围以及参变分离法的运用，属于中档题
19.如图，AD//BC，AB=BC=1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45角，点E是PD的中点.

（1）求证：BE⊥PD；
（2）求二面角P-CD-A的余弦值.(1证明见解析；(2
3
.3
(1由题意利用线面垂直的判定定理首先证得线面垂直，然后由线面垂直可得线线垂直；(2由题意首先作出二面角的平面角，然后结合三角函数的定义和各边的长度可得二面角的余弦值.
(1连接AE.∵PA⊥底面ABCD,PD与底面成45°角，
14



∴∠PDA=45°，△PAD为等腰直角三角形．∵点E是PD的中点∴AE⊥PD，PA⊥底面ABCD，PA⊂面PAD，∴面PAD⊥底面ABCD，
而面PAD∩底面ABCD=AD,∠BAD=90°，∴BA⊥AD，∴BA⊥面PAD，PD⊂面PAD，∴BA⊥PD，AE∩BA=A，∴PD⊥面ABE，BE⊂面ABE，∴BE⊥PD.

(2连接AC，下面说明∠PCA为二面角P−CD−A的平面角．

,AB=BC=1,四边形ABCF是正方形,∠ACF=45°取AD中点F,连接CF,∠BAD=90°，又AD=2，∴FD=CF=1,∠FCD=45°，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD.又PA⊥CD，∴CD⊥面PAC，
∴PC⊥CD，即∠PCA为二面角P−CD−A的平面角．在Rt△PAC中,AC2,PA=AD=2,PCAC2PA26，
cosPCA
AC23
.
PC36
15



所以二面角P−CD−A的余弦值为
3.3
本题主要考查线面垂直的判定定理，由线面垂直证明线线垂直，二面角的定义与求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2xa
20.设f(xx1(a,b为实常数.
2b
（1）当ab1时，证明：f(x不是奇函数；（2）若f(x是奇函数，求a与b的值；
（3）若f(x定义域不为R且是奇函数时，研究是否存在实数集的子集D，对任何属于D的x､c，都有f(xc23c3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由.
a1a15
（1）证明见解析；（2）或；（3）存，D(0,和D(,log2].
7b2b2（1）代入数据计算得到f(1f(1，得到证明.
2ab0,2xa2xa
x1（2）根据奇函数定义得到x1，化简整理得到，解得答案.
2ab402b2b
11
f(x（x0，考虑D(0,时成立，再判断c0两种情况，分别计算函3（）x
212
11
3得到答案.数值域，解不等式
212x
1
2111
1，，（1）证明：f(122f(1215
24
所以f(1f(1，所以f(x不是奇函数（2）f(x是奇函数时，f(xf(x，
2xa2xa
x1即x1对定义域内任意实数x都成立，
2b2b
即(2ab22x(2ab42x(2ab0，
2ab0,a1a1
x.对定义域内任意实数都成立，所以，所以或
2ab40b2b2经检验都符合题意.
16



a12x1
（3）当时，f(xx1，定义域为R，不成立；
b222a12x111
当时，f(xx1（x0，x
b222212
11当x0时，f(x；当x0时，f(x.
22
333
gcc23c3c，
244
2
1因此取D(0,，对任何x､c属于D，都有f(xc23c3成立.
115
3xlog2当c0时，c23c33，解不等式.，得：2
212x7
5
所以取D(,log2]，对任何属于D的x､c，都有f(xc23c3成立.
75
综上所述：存在，D(0,和D(,log2].
7
本题考查了判断函数奇偶性，根据函数的奇偶性求参数，不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.
21.某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、
35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：原始分转换分人数
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；
36．若Y~N(,2，令（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8，
9190898887858382
100999795949188861
1
2
1
2
1
1
1
17




Y

，则~N(0,1，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(k取得最大值时k的值．附：若~N(0,1，则P(
0.80.788，P(
1.040.85．
（1）分布列详见解析，数学期望为
3
；（2）①69分；②k631．2
（1）写出随机变量X的所有可能的取值，根据超几何分布求出X的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
（2）①设该划线分为m，由Y~N(75.8,36求出,.由
Y

，得Y675.8.由题意
m75.8
1.04，即可求6
PY≥m0.85，又P(1.040.85,~N(0,1，故P1.040.85，故
PkPk1m出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出PkPk1
Pk,Pk1,Pk1，代入不等式组，即求k的值.
3.（1）随机变量X的所有可能的取值为0,1,2，
312
C50C5C5C101505
，P(X135由题意可得：P(X03，
C1012012C1012012
130
C52C5C5C5505101
P(X23P(X3，，3
C1012012C1012012
随机变量X的分布列为
X
P
01
5
12
2
512
3112
112

15513123．121212122
（2）①设该划线分为m，由Y~N(75.8,36得75.8,6，
数学期望E(X0
令
Y


Y75.8
，则Y675.8，6
18



由题意，PY≥m0.85，即P675.8≥mP≥
~N(0,1，P(

m75.8
0.85，6
1.040.85，P1.040.85，
m75.8
1.04，m69.56，取m69．6
②由①讨论及参考数据得
PY≥71P675.8≥71P≥0.8P≤0.80.788，
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，
k
~B(800,0.788，P(kC8000.788k(10.788800k．
PkPk1,由
PkPk1,
kk1C8000.788k(10.788800kC8000.788k1(10.788801k,即kk800kk1k1799kC8000.788(10.788,C8000.788(10.788
解得630.188≤k≤631.188，
kN，k631，
当k631时，P(k取得最大值．
本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．22.
设函数f(xx2bxalnx
（Ⅰ）若x2是函数f(x的极值点，1和x0是f(x的两个不同零点，且x0(n,n1
且nN，求n的值；
（Ⅱ）若对任意b2,1,都存在x(1,e（e为自然对数的底数），使得f(x0
成立，求实数a的取值范围.（1）3，（2）详见解析
试题分析：求导后利用x2为极值点，满足f(20，在根据1是f(x的零点，满足f(10，列方程组解出a,b，把a,b的值代入求导，研究函数f(x的另一个零点所在的区间，求出n；
2
由于g(b在[2,1]上为增函数，只需gbmaxg1xxalnx0在x1,e有解，令
19



hxx2xalnx，只需存在x01,e使得hx00即可，对h(x求导，再进行分类讨论.试题解析：
aa
fxfx2xb,x2f24b（Ⅰ）是函数的极值点，∴.
x2
∵1是函数fx的零点，得f11b0，
a
4b0
2由，解得a6,b1，
1b0
2
∴fxxx6lnx,fx2x1
6，x
x0,x2，
62x2x6
0，令fx2x1
xx
令fx0得0x2，
所以fx在0,2上单调递减；在2,上单调递增故函数fx至多有两个零点，其中10,2,x02,，
e2
因为f2f10，f361ln30,f462ln46ln0，
4
所以x03,4，故n3．
2
（Ⅱ）令gbxbxalnx，b2,1，则gb为关于b的一次函数且为增函数，根据题
意，对任意b2,1，都存在x1,e，使得fx0成立，则
gbmaxg1x2xalnx0在x1,e有解，
2
令hxxxalnx，只需存在x01,e使得hx00即可，
a2x2xa
由于hx2x1，
xx
2
令x2xxa,x1,e，x4x10，
∴x在(1，e上单调递增，x11a，
①当1a0，即a1时，x0，即hx0，hx在(1，e上单调递增，∴hxh10，不符合题意.
20



2
②当1a0，即a1时，11a0.e2eea
若a2e2e1，则e0，所以(1，e上e0恒成立，即hx0恒成立，∴hx在(1，e上单调递减,∴存在x01,e，使得hx0h10，符合题意.若2e2ea1，则e0，∴在(1，e上一定存在实数m，使得m0，∴在(1，m上x0恒成立，即h0x恒成立，hx在(1，m上单调递减,∴存在x01,m，使得hx0h10，符合题意.
综上，当a1时，对任意b2,1，都存在x1,e，使得fx0成立
21


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/076d04a8f7335a8102d276a20029bd64793e6241.html

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