高中数学黄金解题模板专题 立体几何中的探索问题（解析版）

【高考地位】

探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．

【方法点评】

方法一 直接法

使用情景：立体几何中的探索问题

解题模板：第一步 首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；

第二步 然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决；

第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果

要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.

例1．如图甲， word/media/image2_1.png的直径word/media/image3_1.png，圆上两点word/media/image4_1.png、word/media/image5_1.png在直径word/media/image6_1.png的两侧，使word/media/image7_1.png，word/media/image8_1.png．沿直径word/media/image9_1.png折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），word/media/image10_1.png为word/media/image11_1.png的中点，word/media/image12_1.png为word/media/image13_1.png的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求证：word/media/image15_1.png；

（2）在word/media/image16_1.png弧上是否存在一点word/media/image17_1.png，使得word/media/image18_1.png平面word/media/image19_1.png？若存在，试确定点word/media/image20_1.png的位置；若不存在，请说明理由．

思路分析：（1）利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到word/media/image21_1.png平面word/media/image22_1.png，进而得出结论．（2）要满足word/media/image23_1.png∥平面word/media/image24_1.png，可过直线word/media/image23_1.png做一平面使其与平面word/media/image24_1.png平行，找到所做平面与word/media/image25_1.png弧的交点．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定. 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：⑴通过各种探索尝试给出条件;⑵找出命题成立的必要条件，也证明充分性．

【变式演练1】如图，在四棱锥word/media/image27_1.png中，word/media/image28_1.png，word/media/image29_1.png平面word/media/image30_1.png，word/media/image31_1.png平面word/media/image32_1.png，word/media/image33_1.png，word/media/image34_1.png，word/media/image35_1.png．

word/media/image36_1.png

（Ⅰ）求棱锥word/media/image37_1.png的体积；

（Ⅱ）求证：平面word/media/image38_1.pngword/media/image39_1.png平面word/media/image40_1.png；

（Ⅲ）在线段word/media/image41_1.png上是否存在一点word/media/image42_1.png，使word/media/image43_1.png平面word/media/image44_1.png？若存在，求出word/media/image45_1.png的值；若不存在，说明理由．

（Ⅲ）结论：在线段word/media/image47_1.png上存在一点word/media/image48_1.png，且word/media/image49_1.png，使word/media/image50_1.png平面word/media/image51_1.png．

解：设word/media/image52_1.png为线段word/media/image53_1.png上一点， 且word/media/image54_1.png， 过点word/media/image55_1.png作word/media/image56_1.png交word/media/image57_1.png于word/media/image58_1.png，则word/media/image59_1.png．因为word/media/image60_1.png平面word/media/image61_1.png，word/media/image62_1.png平面word/media/image63_1.png，所以word/media/image64_1.png．又因为word/media/image65_1.png所以word/media/image66_1.png，word/media/image67_1.png，所以四边形word/media/image68_1.png是平行四边形，则word/media/image69_1.png．又因为word/media/image70_1.png平面word/media/image71_1.png，word/media/image72_1.png平面word/media/image73_1.png，所以word/media/image74_1.png平面word/media/image75_1.png．

【变式演练2】如图，在四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png中，底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png是正方形．点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png是棱88dba0c4e2af76447df43d1e31331a3d.png的中点，平面903313b86cfb89682d191d1a6469e398.png与棱adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png交于点800618943025315f869e4e1f09471012.png．

word/media/image84_1.png

（1）求证：37b09d92deb7b805f1d3b6bd20eceddb.png；

（2）若789a3ba6724cdcb8254431df2ea552c5.png，且平面0f024f27fb33af8e4fabb9af057214c8.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，试证明0b17b595be6662a9f6d3769d426027c6.png平面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png；

（3）在（2）的条件下，线段cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png上是否存在点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，使得b95c3d50fa47443166f7d356eaed8006.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png?（直接给出结论，不需要说明理由）

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．

【解析】

方法二 空间向量法

使用情景：立体几何中的探索问题

解题模板：第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；

第二步 然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解；

第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果

要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.

例2. 如图，已知矩形word/media/image96_1.png所在平面垂直于直角梯形word/media/image97_1.png所在平面于直线word/media/image98_1.png，且word/media/image99_1.png，word/media/image100_1.png且word/media/image101_1.png∥word/media/image102_1.png．

（Ⅰ）设点word/media/image104_1.png为棱word/media/image105_1.png中点，求证：word/media/image106_1.png平面word/media/image107_1.png；

（Ⅱ）线段word/media/image108_1.png上是否存在一点word/media/image109_1.png，使得直线word/media/image110_1.png与平面word/media/image111_1.png所成角的正弦值等于word/media/image112_1.png？若存在，试确定点word/media/image113_1.png的位置；若不存在，请说明理由．

思路分析：（Ⅰ）方法一：以word/media/image114_1.png为原点，word/media/image115_1.png分别为word/media/image116_1.png轴，word/media/image117_1.png轴，word/media/image118_1.png轴建立空间直角坐标系，求出平面word/media/image119_1.png的一个法向量，由此证得结果；方法二：连结word/media/image120_1.png，其交点记为word/media/image121_1.png，连结word/media/image122_1.png，word/media/image123_1.png，由中位线定理可得word/media/image124_1.png，从而证得四边形word/media/image125_1.png是平行四边形，进而由平行四边形的性质可使问题得证；（Ⅱ）先求出平面word/media/image126_1.png的一个法向量，然后由此利用向量法求出线段word/media/image127_1.png上存在一点word/media/image128_1.png，当word/media/image128_1.png点与word/media/image129_1.png点重合时，直线word/media/image130_1.png与平面word/media/image131_1.png所成角的正弦值为word/media/image132_1.png．

（方法二）由三视图知，word/media/image135_1.png两两垂直．连结word/media/image120_1.png，其交点记为word/media/image121_1.png，连结word/media/image122_1.png，word/media/image123_1.png．

因为四边形word/media/image136_1.png为矩形，所以word/media/image137_1.png为word/media/image138_1.png中点．因为word/media/image139_1.png为word/media/image140_1.png中点，所以word/media/image141_1.png∥word/media/image142_1.png，且word/media/image143_1.png．

又因为word/media/image144_1.png∥word/media/image142_1.png，且word/media/image145_1.png，所以word/media/image146_1.png∥word/media/image147_1.png，且word/media/image146_1.png=word/media/image147_1.png．所以四边形word/media/image125_1.png是平行四边形，

所以word/media/image148_1.png∥word/media/image149_1.png，因为word/media/image150_1.pngword/media/image151_1.png平面word/media/image119_1.png，word/media/image152_1.png平面word/media/image153_1.png，所以word/media/image154_1.png∥平面word/media/image119_1.png．

点评：利用空间直角坐标系求解空间角的关键是建立空直角坐标系，而建立空间直角坐标系主要途径：（1）一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；（2）如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点；（3）建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系．

【变式演练3】如图，在多面体word/media/image157_1.png中，四边形word/media/image158_1.png为正方形，word/media/image159_1.png，word/media/image160_1.png，word/media/image161_1.png，word/media/image162_1.png，word/media/image163_1.png，word/media/image164_1.png为word/media/image165_1.png的中点.

（1）求证：word/media/image167_1.png平面word/media/image168_1.png；

（2）在线段word/media/image169_1.png上是否存在一点word/media/image170_1.png，使得二面角word/media/image171_1.png的大小为word/media/image172_1.png？若存在，求出word/media/image173_1.png的长；若不

存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)存在点word/media/image174_1.png的坐标为word/media/image175_1.png,使word/media/image176_1.png.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；(2)借助题设构建空间坐标系运用空间向量求解探求.

（2）因为word/media/image178_1.png两两垂直，如图，建立空间直角坐标系word/media/image179_1.png，则word/media/image180_1.pngword/media/image181_1.png，word/media/image182_1.png，word/media/image183_1.png，word/media/image184_1.png.

设点word/media/image185_1.png，

于是有word/media/image186_1.png，word/media/image187_1.png.

考点：空间线面的位置关系及空间向量的有关知识的综合运用．

【变式演练4】如图,word/media/image190_1.png是边长为3的正方形，word/media/image191_1.png，word/media/image192_1.png,word/media/image193_1.png与平面word/media/image190_1.png所成的角为word/media/image194_1.png.

(1)求二面角word/media/image195_1.png的的余弦值;

(2)设点word/media/image196_1.png是线段word/media/image197_1.png上一动点，试确定word/media/image198_1.png的位置，使得word/media/image199_1.png，并证明你的结论.

解：

【变式演练4】如图，平面word/media/image203_1.png平面word/media/image204_1.png， word/media/image205_1.png是等腰直角三角形，word/media/image206_1.png，四边形word/media/image207_1.png是直角梯形，word/media/image208_1.png，word/media/image209_1.png，word/media/image210_1.png，点word/media/image211_1.png、word/media/image212_1.png分别为word/media/image213_1.png、word/media/image214_1.png的中点.

（1）求证：word/media/image215_1.png平面word/media/image204_1.png；

（2）求直线word/media/image216_1.png和平面word/media/image217_1.png所成角的正弦值；

（3）能否在word/media/image218_1.png上找到一点word/media/image219_1.png，使得word/media/image220_1.png平面word/media/image221_1.png？若能，请指出点word/media/image219_1.png的位置，并加以证明；若不能，请说明理由 .

【高考再现】

1. 【20XX年高考北京理数】（本小题14分）

如图，在四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png中，平面0f024f27fb33af8e4fabb9af057214c8.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，be8e493ab57ba3ad97bb6e65bc28b9bd.png，d506eb1b0501873c982b83e98eedda64.png，52e5c4738e9e5a2c3b11e386c9808f65.png，

5985309ccee9b7f6ce883983d55aad5e.png，399cbf60c74dc97bcb6fbe063ef9ec23.png，8c76ef33f7009a6afff6bf7d13750134.png.

（1）求证：07fe2d439c04ece895b1778c6a28c489.png平面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png；

（2）求直线cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png与平面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png所成角的正弦值；

（3）在棱06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png上是否存在点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，使得f60aecfcb6dacf12ca675d5cb0fd7308.png平面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png？若存在，求a876688b1c264e0b48292efbb1edb1ad.png的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png；（3）存在，0b3d2383b6c56245d664343f8c3a4480.png

试题解析：（1）因为平面0f024f27fb33af8e4fabb9af057214c8.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，52e5c4738e9e5a2c3b11e386c9808f65.png，

所以877dbe7b7363064ca5b71d98d99a595b.png平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，所以389bf74fca7ec2cacf14267e4e874153.png，

又因为be8e493ab57ba3ad97bb6e65bc28b9bd.png，所以07fe2d439c04ece895b1778c6a28c489.png平面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png；

（2）取e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png的中点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连结b3918665ee674080bf505e1b2d862187.png，42983b05e2f2cc22822e30beb7bdd668.png，

因为d506eb1b0501873c982b83e98eedda64.png，所以0cd7a724349aa7bdb0c0a5c75166f064.png.

又因为89596dbb809b3f98189812c3c4610b9f.png平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，平面0f024f27fb33af8e4fabb9af057214c8.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，

所以e459af2dc1b587751a9b1a5b657facc2.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png.

因为48427e4f3b199f865641f2819979b9e6.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，所以e459af2dc1b587751a9b1a5b657facc2.png42983b05e2f2cc22822e30beb7bdd668.png.

因为2675d600bfa96d4c21d0c895f40818f2.png，所以f76ccccfc0fa5c929a1caef6a98fc75e.png.

如图建立空间直角坐标系a094682bcaa447ec174c8cc223ba1897.png，由题意得，

1bf21350a4d058fe907773f7f544a805.png.

所以直线cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png与平面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png所成角的正弦值为227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png.

（3）设69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png是棱06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png上一点，则存在da7cacb926b6ed526350736bdda9bef0.png使得8e88ac6c1d179eb220a8823883547e9f.png.

因此点e0a8ce830c59d8894e189d62cd8dd9aa.png.

因为357580b60eea0481d938242f4d2e47f9.png平面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png，所以1443a4b1dfa4ebdbec68b98a0c31849a.png平面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png当且仅当a7e7a7f5d256f04d3237755d1bd2ce57.png，

即068c3e133e942d2b1878bfabb8d9d198.png，解得bbb380b30500685951e1b6b32e0905b4.png.

所以在棱06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png上存在点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png使得1443a4b1dfa4ebdbec68b98a0c31849a.png平面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png，此时0b3d2383b6c56245d664343f8c3a4480.png.

考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.

【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.

2. 【20XX年高考四川理数】（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngADC=705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngPAB=90°，BC=CD=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngAD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

word/media/image290_1.png

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png.

【解析】

试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知，BC∥ED，且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CD∥EB

从而CM∥EB.

又EBc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面PBE，CM61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.png平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（Ⅱ）方法一：

易知PA⊥平面ABCD，

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.

所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，

所以AH=a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png.

在Rt△PAH中，PH=a6252c609d33faa5638d1afaeca46444.png=b8fecf2a25ddd5226c7451ea3287c0a9.png ，

所以sin∠APH=f50d656398f4fd6e30cea4237cc0bb3c.png =7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png.

方法二：

作Ay⊥AD，以A为原点，以367c39921058afc050b0ceca063de712.png ,24076c869dad9e5b8f0de07a4de9762f.png的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，

所以282f1fe97799430aa274543367887a71.png=（1,0,-2），4b5343c5b1fdf802ffec5c781e3eba72.png=（1,1,0），24076c869dad9e5b8f0de07a4de9762f.png=（0,0,2）

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，

由dd2c8eee13b7e868b0a09eafae28aad8.png 得1937445becab662d008a12477cea2972.png 设x=2，解得n=(2,-2,1).

设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=9c94ec5219043c91b761b9658ad83a14.png =4b17308247f41e2b463b2510434d18a6.png .

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png .

word/media/image312_1.png

考点：线线平行、线面平行、向量法.

3. 【2016高考北京文数】（本小题14分）

如图，在四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png中，782efb691dd7e54d19b6695fb2066770.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，2778b1fe898db53391da0342e57048b6.png

（word/media/image318.gif）求证：b96c02c991bcfc1557240eda13d2ac77.png；

（word/media/image320.gif）求证：92117fa8cf592aa644b617976b1897f8.png；

（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得9f0c4a0fb447e9a2ff7df9660ee92017.png平面245b7ffe2031075a5984c76bec778c47.png?说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III）存在.理由见解析.

【解析】

所以d3aa94afb39fb3e7228962f1530d70c2.png．

所以65dc2a8556cbaa1429f2a7aafa819c74.png平面d95c3d2748feb777cf15d23927bddfec.png．

所以平面b0e65b96034f5526acfa81608f7e5c8f.png平面d95c3d2748feb777cf15d23927bddfec.png．

考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力

【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.

【反馈练习】

1.【江苏省淮安市20XX届高三第五次模拟考试】（本题满分14分）

如图，边长为2的正方形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png是圆柱的中截面，点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为线段f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的中点，点5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png为圆柱的下底面圆周上异于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的一个动点．

（1）在圆柱的下底面上确定一定点800618943025315f869e4e1f09471012.png，使得ec7ce4655c3ffbefd6813cd69047c951.png平面c6e421eaad140c1bc1a39980502df80c.png；

（2）求证：平面c2dd8a52bce67d0b53be067bb8c1503e.png平面7d8f5a30d16254d9944d310de7e23095.png．

【答案】（1）点800618943025315f869e4e1f09471012.png为线段b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点；（2）详见解析；

【解析】2.【20XX年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】(本小题满分14分)已知直三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，9efe378b6b25f199db311a009051234b.png分别为611e6a2c1d6f4d5130ab7d3f4a23b38e.png的中点，6e3a4e36457eac15c6d1c8c362e00baa.png,点800618943025315f869e4e1f09471012.png在线段b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png上，且279ca38ae7676f549d7545da52076aaf.png．

⑴求证:a9dd8282f99a137a411b2d08eea4bd36.png；

⑵若69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为线段d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png上一点，试确定69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png在线段d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png上的位置，

使得9e8e46eae1a2a3a3aa4ff03459f9f9d2.png平面5ede25df434ae569386cd15f5f1d9f9c.png．

word/media/image364.gif

【答案】（1）见解析；（2）BE=4ME

【解析】

⑵连结AE，在BE上取点M，使BE=4ME,

连结FM，849609fc484415b0b6ac9f454af09244.png,F62aaced6e784a6a5b344b43850f98398.png，在8cfbbb279e1f4cfecacb02428c5ab514.png中，由BE=4ME，AB=4AF

所以MF//AE，

又在面AA1C1C中，易证C1D//AE，所以9e8e46eae1a2a3a3aa4ff03459f9f9d2.png平面5ede25df434ae569386cd15f5f1d9f9c.png．

3.【扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学】如图,三棱锥a0531cd12b1e318decdc4091a47d348d.png中,侧面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png是等边三角形,69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png是75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的中心．

⑴若41d5e3e7cbbff25f7d21e890a1afcc1a.png,求证07e72ed65838e46b45557b7d5af7e25c.png；

⑵若e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png上存在点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png,使1459ff722a1cf99f24aa39e23a019128.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png,求adb1d497fa19f0a2a1bd95844467ee2a.png的值．

word/media/image383_1.png

【答案】⑴见试题分析；⑵93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png

【解析】

⑵22d7031c38b3ee3cf354f3c942fea747.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png,所以e49933dafda1367f3f6e3aec34ddca36.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png,

因为e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png上存在点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png,所以4f69dd9ba3b25ec8f9d65c99de4bc69a.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png,所以5fc254f80895e22f1495effb616d2472.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png,

又1459ff722a1cf99f24aa39e23a019128.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png,平面04664888fc4b63feb9df4557f78cf71b.png平面f0b66fd7050d74e321a025805bdef64f.png,所以1459ff722a1cf99f24aa39e23a019128.png3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png,

在ab1cc577a6884741e23df170aa758a13.png中,因为f18ef32d1263949449f11629b491ef79.png,所以3ef48f50b19b58d91f236f1a0966eb02.png．

4．【20XX届福建省福州市第八中学高三上学期第三次质检】在如图所示的几何体中，面1837158c5ff9b84bf85824ce36606416.png为正方形，面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为等腰梯形，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png//4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png，f9275e02d2dd887d8d865daa95cdb992.png，89bcf31841f827798747b6a0cfcb0763.png，8d29df21276a32dd9b2aecf76b8cc867.png．

word/media/image404_1.png

（1）求证：7181c851a585f9ea5b00c6656fd252e6.png平面e84020b187b2b85c4638d3c16988eb3a.png；

（2）求四面体c3a5f65003dbc8e655dcc64bba3e3850.png的体积；

（2）线段4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png上是否存在点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，使96140e1425e9ae5a3dce3927751527d0.png//平面148a2c9d5c7303d1bbff433e22d200ec.png？证明你的结论．

【答案】（1）祥见解析；（2）8797aee31940097767e40c8b877c22e5.png；（2）祥见解析.

【解析】

5．【20XX届辽宁省大连市第二十高级中学高三上学期期中考试】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png平面EFDC．

（1）当7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，是否在折叠后的AD上存在一点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；

（2）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.pngCDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

【解析】

（1）存在a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png使得满足条件CP∥平面ABEF，且此时．a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png

下面证明： a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png，过点a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png作MP∥FD，与AF交于点a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png，则有a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png，又FD＝a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png，故MP＝3，又因为EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MPa4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.pngEC，故四边形MPCE为平行四边形，所以PC∥ME，又CPa4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png平面ABEF，MEa4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png平面ABEF，故有CP∥平面ABEF成立．

（2）因为平面ABEFa4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png平面EFDC，平面ABEFa4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png平面EFDC＝EF，又AFa4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.pngEF，所以AF⊥平面EFDC

由已知BE＝x，，所以AF＝x（0a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.pngxa4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png4），FD＝6a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.pngx．

故a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png．所以，当x＝3时，a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png有最大值，最大值为3.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/05d0e7d586868762caaedd3383c4bb4cf6ecb756.html