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安徽省合肥市2016年中考数学模拟试卷(含解析)

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2016年安徽省合肥中考数学模拟试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．下面与﹣3乘积为1的数是（）A．B．﹣C．3
D．﹣3
2．如图所示，物体的主视图为（）
A．B．C．D．
3．大数据时代，对数据分析的速度要求更高了，某种计算机完成一次基本运算所用的时间约为0.00000000102s，把0.00000000102用科学记数法可表示为（）A．1.02×10﹣9
B．0.102×10﹣9C．0.102×10﹣10D．1.02×10﹣10
4．下列运算正确的是（）
A．x3+x2=2x5B．3﹣2=C．（2x4）3=8x7D．2x3•x4=2x7
5．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为28°，则∠α的度数为（）
A．28°B．30°C．32°D．45°
6．正比例函数y=2x与反比例函数y=（k≠0）的图象有一个交点为（2，m），则另一个交点坐标为（）
A．（2，﹣4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣2，4）D．（﹣2，﹣2）
7．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐2号车的概率为（）A．B．C．D．
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（）
A．20°B．25°C．30°D．40°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，且扩充部分是直角三角形，则扩充后的△ABD面积最小值是（）

A．6B．C．10D．12
10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）
A．AB：AD=3：4
B．当△BPQ是等边三角形时，t=5秒C．当△ABE∽△QBP时，t=7秒
D．当△BPQ的面积为4cm时，t的值是或秒
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．计算﹣2sin45°的结果是．
12．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点，已知cos∠ABO=，⊙C半径是2，则OD的长为．
13．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则B2016的坐标是．
14．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AD=2，对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，折痕为EF；展平后再过点A折叠矩形纸片，使点D落在EF上的点N，折痕AG与EF相交于点Q；再次展平，连接AN，GN，延长GN交AB于点M，有如下结论：
①MN=NG；②EQ=1；③△GAM一定是等边三角形；④P为线段AG上一动点，则PD+PE的最小值是2+．其中正确结论的序号是．
三、解答题（共10小题，满分90分）15．解不等式组，并求出它所有的非负整数解．16．解方程：+=﹣1．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

2
2
2

（1）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得△A1B1C1，画出△A1B1C1并直接写出点C1的坐标为．（2）以原点O为位似中心，在第四象限画一个△A2B2C2，使它与△ABC位似，并且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．
（3）若△ABC中有一点P坐标为（x，y），请直接写出经过以上变换后△A1B1C1，△A2B2C2中点P的对应点P1、P2的坐标分别为：P1（，），P2（，）．
18．如图，望湖公园装有新型路灯，路灯设备由灯柱AC与支架BD共同组成（点C处装有安全监控，点D处装有照明灯），AC与地面垂直，BC为1.5米，BD为2米，AB为7米，∠CBD=60°，某一时刻，太阳光与地面的夹角为37°，求此时路灯设备整体在地面上的影长为多少？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
19．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC上一点，BD延长线与⊙O过点A的切线相交于点E，AE=AD．
（1）判断BE是否是∠ABC的平分线，并说明理由；（2）若AB=10，AD=5，求AC长．
20．某区政府2015年投入15千万元用于改善教育服务，比2014年增加了3千万元，投入资金用于改善社区教育和学校教育，2015年投入社区的资金比2014年提高10%，投入学校的资金比2014年提高30%．
（1）该区政府2014年投入社区教育和学校教育的资金各是多少千万元？
（2）该区政府预计2017年将有29.4千万元投入改善教育服务，若从2015﹣2017年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2015﹣2017年的年增长率．
21．某校举办了主题为“将根值于母校，把爱常留心中”的捐种毕业树活动，学生会对毕业班学生自愿捐款活动进行了抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3：4：5：7：2，又知此次调查中捐50元和100元的人数共36人．
（1）他们一共抽查了多少人？捐款数不少于50元的概率是多少？（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校毕业班学生共有1260名学生，请估算全校学生共捐款多少元？

3

22．某花木公司生产的花卉产品年产量为6万件，每年可通过在网上销售和批发部销售全部售完．该花卉产品平均每件产品的利润与销售的关系如表：
网上销售
销售量（万件）
x
平均每件产品的利润（元）当0＜x≤2时，y1=140当2≤x＜6时，y1=﹣5x+150
批发部销售
n
当0＜n≤2时，y2=120当2≤n＜6时，y2=﹣5n+130
（1）①当网上销售量为4.2万件时，y1=；y2=
②y2与x的函数关系为：当0＜x≤时，y2=；当≤x＜6时，y2=120．
（2）求每年该公司销售这种花卉产品的总利润w（万元）与网上销售数量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年网上、批发部的销售量各为多少万件时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少万元？
23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上．①当DE⊥CE，DE=CE时，求证：△ADE≌△BEC；
②当△ADE≌△BEC时，设AD=a，AE=b，DE=c，请利用如图，证明勾股定理：a+b=c．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在线段AB上，DE⊥CE．
①利用尺规作图，在线段AB上作出所有符合条件的E点（不要求写作法，保留作图痕迹）②若AD=3，BC=5，AB=8，求△CED的面积．
2
2
2

4


2016年安徽省合肥二十中中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．下面与﹣3乘积为1的数是（）A．B．﹣C．3【考点】倒数．
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数，进行求解．【解答】解：∵﹣3的倒数是﹣，∴与﹣3乘积为1的数是﹣，故选（B）
【点评】本题主要考查了倒数的概念，解题时注意：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数．
2．如图所示，物体的主视图为（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个较大的矩形，上边是一个距右边较近的较小的矩形，故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，把从正面看到的图形画出来是解题关键．
3．大数据时代，对数据分析的速度要求更高了，某种计算机完成一次基本运算所用的时间约为0.00000000102s，把0.00000000102用科学记数法可表示为（）A．1.02×10﹣9
B．0.102×10﹣9C．0.102×10﹣10D．1.02×10﹣10
D．﹣3
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决

5

定．
【解答】解：0.00000000102=1.02×10．故选A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．下列运算正确的是（）
A．x+x=2xB．3=C．（2x）=8xD．2x•x=2x
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．【分析】根据合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，单项式乘单项式的法则进行解答．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、应为3﹣2=，故本选项错误；C、应为（2x）=8x，故本选项错误；D、2x3•x4=2x7，是正确的．故选D．
【点评】本题考查合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变；单项式乘单项式，应把系数，同底数幂分别相乘；负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
5．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为28°，则∠α的度数为（）
A．28°B．30°C．32°D．45°
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠ACD=∠α，∠BCD=∠CBE=28°，即∠α+∠CBE=∠ACB=60°，即可求出答案．
【解答】解：如图，∵l∥m∥n，∴∠ACD=∠α，∠BCD=∠CBE=28°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，

6
﹣9
﹣n
325﹣2437347
4312

∴∠α+∠CBE=∠ACB=60°，∴∠α=32°．故选C．
【点评】本题主要考查对等边三角形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好．
6．正比例函数y=2x与反比例函数y=（k≠0）的图象有一个交点为（2，m），则另一个交点坐标为（）
A．（2，﹣4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣2，4）D．（﹣2，﹣2）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】先将（2，m）代入y=2x，求出m的值，再根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．
【解答】解：∵正比例函数y=2x的图象过点（2，m），∴m=2×2=4．
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是（2，4），∴另一个交点的坐标是（﹣2，﹣4）．故选B．
【点评】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
7．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐2号车的概率为（）A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．
【分析】先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人同坐2号车的结果数，然后根据概率公式求解．

7

【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1，所以两人同坐2号车的概率=．故选A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（）
A．20°B．25°C．30°D．40°【考点】菱形的性质．
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB=OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO=20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=BD，∵∠DHO=20°，
∴∠OHB=90°﹣∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°﹣∠ABD=20°．故选A．
【点评】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△OBH是等腰三角形是关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，且扩充部分是直角三角形，则扩充后的△ABD面积最小值是（）

8

A．6
B．C．10D．12
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用等腰三角形的性质结合三角形面积求法得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，
当AB=AD=5时，此时△ABD面积最小值，△ABD面积为：×3×5=，故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，正确得出AB=AD时△ABD面积最小值是解题关键．
10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）
A．AB：AD=3：4
B．当△BPQ是等边三角形时，t=5秒C．当△ABE∽△QBP时，t=7秒
D．当△BPQ的面积为4cm时，t的值是或秒【考点】二次函数综合题．
【分析】先根据图象信息求出AB、BE、BE、AE、ED，A、直接求出比，
B、先判断出∠EBC≠60°，从而得出点P可能在ED上时，△PBQ是等边三角形，但必须是AD的中点，而AE＞ED，所以点P不可能到AD中点的位置，故△PBQ不可能是等边三角形；C、利用相似三角形性质列出方程解决，分两种情况讨论计算即可，D、分点P在BE上和点P在CD上两种情况计算即可．
【解答】解：由图象可知，AD=BC=BE=5，CD=AB=4，AE=3，DE=2，A、∴AB：AD=5：4，故A错误，

9
2
2

B、∵tan∠ABE=，∴∠ABE≠30°∴∠PBQ≠60°，
∴点P在ED时，有可能△PBQ是等边三角形，∵BE=BC，
∴点P到点E时，点Q到点C，
∴点P在线段AD中点时，有可能△PBQ是等边三角形，∵AE＞DE，
∴点P不可能到AD的中点，
∴△PBQ不可能是等边三角形，故B错误，C、∵△ABE∽△QBP，∴点E只有在CD上，且满足，∴=，∴CQ=．
∴t=（BE+ED+DQ）÷1=5+2+（4﹣）=．故C错误，D、①如图（1）
在Rt△ABE中，AB=4，BE=5sin∠AEB=，∴sin∠CBE=∵BP=t，
∴PG=BPsin∠CBE=t，∴S△BPQ=BQ×PG=×t×t==4，∴t=﹣（舍）或t=，②当点P在CD上时，
S△BPQ=×BC×PC=×5×（5+2+4﹣t）=×（11﹣t）=4，∴t=，
∴当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是或秒，故D正确，故选D．

10


【点评】此题是二次函数综合题，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识．解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型．．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．计算﹣2sin45°的结果是．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：﹣2sin45°=2﹣2×=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
12．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点，已知cos∠ABO=，⊙C半径是2，则OD的长为2．
【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；解直角三角形．
【分析】连接AD，则AD是圆的直径，根据圆周角定理可得∠ADO=∠ABO，然后利用余弦函数的定义求解．
【解答】解：连接AD．则AD是圆的直径，AD=4．∵∠ADO=∠ABO，∴cos∠ADO=cosABO===，解得：OD=2．故答案是：2．
【点评】本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
13．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，

11

B2，B3，…都在直线y=x上，则B2016的坐标是（2016，2016）．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标；等边三角形的性质．
【分析】过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，由条件可求得∠B1OC=30°，利用直角三角形的性质可求得B1C=1，OC=，可求得B1的坐标，同理可求得B2、B3的坐标，则可得出规律，可求得B2016的坐标．【解答】解：
如图，过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，∵△OAB1是等边三角形，且边长为2，∴∠AOB1=60°，OB1=2，∴∠B1OC=30°，
在RtB1OC中，可得B1C=1，OC=，∴B1的坐标为（，1），同理B2（2，2）、B3（3，3），∴Bn的坐标为（n，n），∴B2016的坐标为（2016，2016），故答案为：（2016，2016）．
【点评】本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得B1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AD=2，对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，折痕为EF；展平后再过点A折叠矩形纸片，使点D落在EF上的点N，折痕AG与EF相交于点Q；再次展平，连接AN，GN，延长GN交AB于点M，有如下结论：
①MN=NG；②EQ=1；③△GAM一定是等边三角形；④P为线段AG上一动点，则PD+PE的最小值是2+．其中正确结论的序号是①②③．
【考点】四边形综合题．
【分析】由四边形ABCD是矩形，得到AB∥CD，根据折叠的性质得到AB∥EF∥CD，AE=DE，根据平行线等分线段定理即可得到MN=NG；故①正确；由折叠的性质得∠DAG=∠NAG，∠ANG=∠ADG=90°，解直角三角形得到EQ=1，故②正确；根据线段垂直平分线的性质得到AG=AM，由等边三角形的判定定

12

理即可得到△AGM是等边三角形；故③正确；由点D与N关于AG对称，得到NE的长度即为PD+PE的最小值，解直角三角形得到PD+PE的最小值为3，故④错误．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，∴AB∥EF∥CD，AE=DE，∴MN=NG；故①正确；
∵由折叠的性质得∠DAG=∠NAG，∠ANG=∠ADG=90°，∴AN⊥GM，∴∠GAN=∠MAN，∵∠DAB=90°，
∴∠DAG=∠GAN=∠MAN=30°，∵AE=AD=，∴EQ=1，故②正确；∵AN垂直平分MG，∴AG=AM，∵∠GAM=60°，
∴△AGM是等边三角形；故③正确；∵点D与N关于AG对称，∴NE的长度即为PD+PE的最小值，∵AE=，∠EAN=60°，∠AEN=90°∴NE=3，
即PD+PE的最小值为3，故④错误，故答案为：①②③．
【点评】此题主要考查了几何变换综合题，等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，折叠的性质，要熟练掌握．
三、解答题（共10小题，满分90分）15．解不等式组，并求出它所有的非负整数解．

13

【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非负整数解即可．【解答】解：，由①得x＞﹣2，由，②得x≤2，
∴原不等式组的解是﹣2＜x≤2，∴不等式组的非负整数解0，1，2．
【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
16．解方程：+=﹣1．【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：16﹣（x+2）=﹣x+4，整理得：﹣4x=﹣8，解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得△A1B1C1，画出△A1B1C1并直接写出点C1的坐标为（4，1）．
（2）以原点O为位似中心，在第四象限画一个△A2B2C2，使它与△ABC位似，并且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．
（3）若△ABC中有一点P坐标为（x，y），请直接写出经过以上变换后△A1B1C1，△A2B2C2中点P的对应点P1、P2的坐标分别为：P1（y，﹣x），P2（﹣2x，﹣2y）．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转变换；作图—相似变换．

14
22

【分析】（1）分别作出A、B、C绕点O顺时针方向旋转90°的对应点A1，B1，C1，即可解决问题．（2）连接AO，延长AO到A2，使得OA2=2OA，同法作出点B2、点C2，即可解决问题．（3）探究规律，利用规律即可解决．
【解答】解：（1）分别作出A、B、C绕点O顺时针方向旋转90°的对应点A1，B1，C1，连接A1B1，A1C1，B1C1，
如图，△A1B1C1即为所求作．由图象可知点C1坐标（4，1）．故答案为（4，1）．
（2）连接AO，延长AO到A2，使得OA2=2OA，同法作出点B2、点C2，连接A2B2，B2C2，A2C2，如图，△A2B2C2即为所求作．
（3）探究规律后可得，P1（y，﹣x），P2（﹣2x，﹣2y）．故答案为P1（y，﹣x），P2（﹣2x，﹣2y）．
【点评】本题考查相似变换、旋转变换、位似变换等知识，解题的关键是熟练掌握旋转作图，位似作图是方法，属于中考常考题型．
18．如图，望湖公园装有新型路灯，路灯设备由灯柱AC与支架BD共同组成（点C处装有安全监控，点D处装有照明灯），AC与地面垂直，BC为1.5米，BD为2米，AB为7米，∠CBD=60°，某一时刻，太阳光与地面的夹角为37°，求此时路灯设备整体在地面上的影长为多少？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用；平行投影；中心投影．
【分析】过点D作光线的平行线，交地面于点G，交射线AC于点F，过点D作DE⊥AF于点E，在Rt△DBE中，根据BE=BD•sin30°和DE=BD•cos30°求出BE和DE，在Rt△FED中，根据∠AGF=45°，求出EF=ED，再根据AF=AB+BE+EF，求出AF，然后与AC进行比较，即可得出路灯设备在地面上的影长．
【解答】解：如图，过点D作光线的平行线，交地面于点G，交射线AC于点F，过点D作DE⊥AF于点E，

15

在Rt△DBE中，∵∠CBD=60°，∴∠BDE=30°，∵BD=2，
∴BE=BD•sin30°=1，DE=BD•cos30°=，在Rt△FED中，∵∠AGF=37°，∴∠EDF=37°，∴EF=ED•tan37°=，∵AB=7，
∴AF=AB+BE+EF=7+1+=8+．∵8+＞7，
∴此时的影长为AG．在Rt△AFG中，AG==+．
答：此刻路灯设备在地面上的影长为（+）米．
【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数、三角形内角和定理，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
19．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC上一点，BD延长线与⊙O过点A的切线相交于点E，AE=AD．
（1）判断BE是否是∠ABC的平分线，并说明理由；（2）若AB=10，AD=5，求AC长．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）结论：BE是∠ABC的角平分线．由∠E+∠ABE=90°，∠CDB+∠DBC=90°，只要证明∠E=∠CDB即可解决问题．
（2）由△CDB∽△AEB，得===，设CD=x，BC=2x，则CA=CD+AD=x+5，在Rt△ACB中，由AC2+BC2=AB2，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：BE是∠ABC的角平分线．

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理由：∵AD=AE，∴∠E=∠ADE，∵∠ADE=∠CDB，∴∠E=∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB=90°，∴∠CDB+∠CBD=90°，∵AE是切线，∴AE⊥AB，∴∠EAB=90°，∴∠E+∠ABE=90°，∴∠CBD=∠EBA，∴BE是∠ABC的平分线．
（2）∵AE=AD，AD=5，∴AE=AD=5，
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE，∴△CDB∽△AEB，
∴===，设CD=x，BC=2x，则CA=CD+AD=x+5，在Rt△ACB中，∵AC+BC=AB，∴（x+5）+（2x）=10，解得x=3或﹣5（舍弃），∴AC=5+3=8．
【点评】本题从切线的性质、相似三角形判定和性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会理由参数，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．某区政府2015年投入15千万元用于改善教育服务，比2014年增加了3千万元，投入资金用于改善社区教育和学校教育，2015年投入社区的资金比2014年提高10%，投入学校的资金比2014年提高30%．

17
222
222

（1）该区政府2014年投入社区教育和学校教育的资金各是多少千万元？
（2）该区政府预计2017年将有29.4千万元投入改善教育服务，若从2015﹣2017年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2015﹣2017年的年增长率．【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）题中有两个等量关系：2014年投入资金12千万元用于改善社区教育和学校教育，2015年投入社区的资金+2015年投入学校的资金=15，据此可以列出方程组．
（2）设年增长率为x，根据2017年将有29.4千万元投入改善教育服务列出方程并解答．【解答】解：（1）设该区政府2014年投入社区教育x千万元，投入学校教育y千万元，由题意得，解得．
答：该区政府2014年投入社区教育3千万元，投入学校教育9千万元；
（2）设年增长率为x，由题意得：15（1+x）2=29.4，
解得x1=0.4，x2=﹣2.4（不合实际，舍去）．答：从2015﹣2017年的年增长率是40%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程（组），再求解．
21．某校举办了主题为“将根值于母校，把爱常留心中”的捐种毕业树活动，学生会对毕业班学生自愿捐款活动进行了抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3：4：5：7：2，又知此次调查中捐50元和100元的人数共36人．
（1）他们一共抽查了多少人？捐款数不少于50元的概率是多少？（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校毕业班学生共有1260名学生，请估算全校学生共捐款多少元？
【考点】概率公式；用样本估计总体；中位数；众数．【分析】（1）由条形图可得抽查的总人数；
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列

18

后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；（3）求出这组数据的平均数，再估算．
【解答】解：（1）设捐50元的人数为5x，则根据题意捐100元的人数为7x．∴5x+7x=36，∴x=3
∴一共调查了3x+4x+5x+7x+2x=63（人）∴捐款数不少于50元的概率是或．
（2）由（1）可知，这组数据的众数是100（元），中位数是50（元）．（3）全校学生共捐款：
（9×20+12×30+15×50+21×100+6×150）÷63×1260=85800（元）
【点评】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，掌握众数、中位数的性质是关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．某花木公司生产的花卉产品年产量为6万件，每年可通过在网上销售和批发部销售全部售完．该花卉产品平均每件产品的利润与销售的关系如表：
网上销售
销售量（万件）
x
平均每件产品的利润（元）当0＜x≤2时，y1=140当2≤x＜6时，y1=﹣5x+150
批发部销售
n
当0＜n≤2时，y2=120当2≤n＜6时，y2=﹣5n+130
（1）①当网上销售量为4.2万件时，y1=129；y2=120
②y2与x的函数关系为：当0＜x≤4时，y2=5x+100；当4≤x＜6时，y2=120．（2）求每年该公司销售这种花卉产品的总利润w（万元）与网上销售数量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年网上、批发部的销售量各为多少万件时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少万元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）①将x=4.2代入y1=﹣5x+150，将n=6﹣4.2=1.8可得y2；②由n=6﹣x，结合0＜n≤2、2≤n＜6可得对应x的范围及y2的表达式；
（2）分0＜x≤2、2≤x≤4、4≤x＜6三种情况，根据总利润=网上所获利润+批发部销售所获利润，结合表中不同范围内的单件利润的函数表达式即可得；

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（3）由（2）中三种情况，根据二次函数的性质分别求出三个范围内的最大值，再比较即可得．【解答】解：（1）①当x=4.2时，n=6﹣4.2=1.8，∴y1=﹣5×4.2+150=129，y2=120，故答案为：129；120；②∵x+n=6，
∴当0＜n≤2时，即0＜6﹣x≤2，解得，4≤x＜6，此时y2=120，
∴当2≤n＜6时，即2≤6﹣x＜6，解得，0＜x≤4，此时y2=﹣5（6﹣x）+130=5x+100，故答案为：4，5x+100；4；
（2）由题意可得，
当0＜x≤2时，w=140x+（5x+100）（6﹣x）=5x+70x+600；
当2≤x≤4时，w=（﹣5x+150）x+（5x+100）（6﹣x）=﹣10x2+80x+600；当4≤x＜6时，w=（﹣5x+150）x+120（6﹣x）=﹣5x+30x+720；
（3）当0＜x≤2时，w=﹣5x+70x+600=﹣5（x﹣7）+845，∵﹣5＜0，且x＜7时，w随x的增大而减小，∴当x=2时，w最大=720；
当2≤x≤4时，w=﹣10x+80x+600=﹣10（x﹣4）+760，∴当x=4时，w最大=760；
当4≤x＜6时，w=﹣5x+30x+720=﹣5（x﹣3）+765，∵﹣5＜0，且x＞3时，w随x的增大而减小，∴当x=4时，w最大=760；
综上可知，该公司每年网上、批发部的销售量各为4万件、2万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值为760万元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意列出不同范围内单件利润的函数表达式是解题的根本，根据销售量x的不同范围分类讨论是解题的关键．
23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上．①当DE⊥CE，DE=CE时，求证：△ADE≌△BEC；
②当△ADE≌△BEC时，设AD=a，AE=b，DE=c，请利用如图，证明勾股定理：a2+b2=c2．

20
2
2
22
22
22


【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠B=90°，由条件可得∠AED=∠BCE，利用AAS可证明△ADE≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可证明DE⊥EC，且DE=EC，可利用S梯形ABCD=S△ADE+S△BEC+S△DEC，可得到关于a、b、c的等式，整理可得a2+b2=c2．【解答】解：①证明：
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴∠A=∠B=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°，∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠AED=∠BCE，在△ADE和△BEC中
∴△ADE≌△BEC（AAS）；②当△ADE≌△BEC时，则有∠AED=∠BEC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠DEC=90°，且DE=CE，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）AB=（a+b），S△ADE=S△BEC=ab，S△DEC=c，∵S梯形ABCD=S△ADE+S△BEC+S△DEC，∴（a+b）=ab+，整理可得a2+b2=c2．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

21
22
22

24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在线段AB上，DE⊥CE．
①利用尺规作图，在线段AB上作出所有符合条件的E点（不要求写作法，保留作图痕迹）②若AD=3，BC=5，AB=8，求△CED的面积．
【考点】四边形综合题．
【分析】①根据直径所对的圆周角是直角，作辅助圆O，可以得到两个点E；②先证明△ADE∽△BE，列比例式，设AE=x，BE=8﹣x，代入得：，解得x=5或3；
分两种情况：i）当AE=5，BE=3时，如图2，ii）当AE=5，BE=3时，如图2，利用勾股定理求DE和CE的长，代入面积公式求得结论．【解答】解：①如图所示：
作法：（1）作CD的中垂线FG，交CD于O，
（2）以O为圆心，以OD为半径作圆，交AB于两点：E1、E2，则E1、E2就是符合条件的点；②∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴∠A=∠B=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴，
由已知：AD=3，BC=5，AB=8，则可设AE=x，BE=8﹣x，∴，x=5或3，
当AE=5，BE=3时，如图2，DE=CE==，
∴S△CDE=DE2=×=17，当AE=3，BE=5时，如图3，

22

DE==3，CE==5，
∴S△CDE=DE•CE=×3×=15，∴△CED的面积是17或15．
【点评】本题考查了直角梯形、直角三角形边和角的关系、勾股定理、三角形相似的性质和判定、圆周角定理以及尺规作图，难度适中，明确直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中常利用同角的余角相等证明两个角相等，并采用分类讨论的思想．

23

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/05873b9db42acfc789eb172ded630b1c59ee9b8f.html

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