2019年高考全国1卷理科数学试题

6,2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)

第I卷（选择题)

1．已知集合fd910fed73bccd956722b1e16a5ebbb7.png，则9bc02d5f5bd148ba3a4e2517066ae085.png=

A．df39c5b766cc91723f4a7a44cc40498c.png B．8bb884dbfe1efc9ece2d256210df1c7b.png C．a7f7f5d648f7a98e53d542de7636db7b.png D．5dd8352932d3fb5cfdc4258d20612030.png

2．设复数z满足fe3555f886c3abfafc6fb946446a1283.png，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A．b5cb8386bd2f1dbfffc51097e654a40a.png B．1f2fd99c453bb316a10a33d694756460.png C．8229a5b648d5734db39f83d67a1a4008.png D．30e1d45853f6911218647b883a8c1673.png

3．已知4719a779be072ac234dd6b84dde9f413.png，则

A．1b4cccf30aed47a4a8e0e227a1a6cf7f.png B．57ccadf9c98a599bdf47e888d114e5a4.png C．132f30f6673fec9d341941a37e28ff8f.png D．3e14a7df46dd83e39024d6c80642ccda.png

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是c73c042cc7fdcb29735a26f74b1a6a31.png（c73c042cc7fdcb29735a26f74b1a6a31.png≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是c73c042cc7fdcb29735a26f74b1a6a31.png．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm

5．函数f(x)=39fb2cb2b11154cd1586b0004da3ccb9.png在[—π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A．ca285119a837b6b5662389d760e84064.png B．80c616d371cee61bdce58bac8a22aff1.png C．356e9f99d49e6f781387f1d9f63475cc.png D．bfd1f8f790ed5aa6344d2112d38cb9d2.png

7．已知非零向量a，b满足d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png70d96dda12bf002dad3cd42ecf0544c7.png=291a24814efa2661939c57367281c819c.png，且（a–b）b6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pngb，则a与b的夹角为

A．81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png B．c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png C．15a638c09d3e9bb4597ce8bf69141c36.png D．c5f0a1278a5691090fdfe343b8e6a389.png

8．如图是求00a0383f21b6b67d3c11c812c2181b61.png的程序框图，图中空白框中应填入

A．A=a17150ad20831fb62c321fe0e9773bc8.png B．A=283c6a78cee1468e0a8f2d72f6223c0b.png C．A=4f87d9771903118329e0b34f03fc55df.png D．A=de11cb5b2e0c8dd984642bec04ea1687.png

9．记44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为等差数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前n项和．已知c53bfe4616caa3fbcb312bc1720f1a6b.png，则

A．229a2c3dcabd099092e274fd9581ce6e.png B．70ce015bc1f9449053c7dcdf77197cac.png C．4245b9d40dfd8f4659e96d3a8f56967f.png D．787d09abcfbe06557a6817c4b9f3687d.png

10．已知椭圆C的焦点为ed7967ff4981e33920e6198512bcb23a.png，过F2的直线与C交于A，B两点.若154f7f8f572728d8df954ee141d96b05.png，8ac538589890722f352f89a382173bcf.png，则C的方程为

A．6b27131f0c0b2338c0191265e22b7e27.png B．4ed2e2aaab6e5f11e40c156c0aa7b255.png C．9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png D．160385ba00f28e2a58099e7a167c44ab.png

11．关于函数a2b5165f7cbc52f1f690fd4aeb98611b.png有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png,31bf0b12546409e15021243132fc7574.png）单调递增

③f(x)在372f5426c73a8a329d8e9ea0457f676c.png有4个零点 ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A．e86688b08e35b4e96b33a7093bdbac4b.png B．fced82f10f3a251a125e08ad1d22e4ea.png C．51c7506ffa5f4678e4c7ae88b026bc8a.png D．c0f59dc1a3b2ee682af8212af9884ef6.png

第II卷（非选择题)

13．曲线375305e5ab4a378a8a47c8cc8a40b91d.png在点5c16f757233856dcf311176b7410d2d5.png处的切线方程为___________．

14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若2986f97f6e166a92ebb47b6eabfb99ed.png，则S5=____________．

15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

16．已知双曲线C：87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若ccee596ca571cafe359cb2c137f680ed.png，da0355a51e45f609235426fec5f9c712.png，则C的离心率为____________．

17．533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设cb21b5b59861ab80cd64fe1d047ee40f.png．

（1）求A；

（2）若f54bc2893b1386d43a68675ccf7c93e7.png，求sinC．

18．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

19．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若55e36a4df826d1cc32d7e2a69b7308b8.png，求|AB|．

20．已知函数e14a2dc669a3b349ad7e4a4065e021f0.png，d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png为50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的导数．证明：

（1）d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png在区间7fca68103d274d44ec5f1bb6bf2e85c0.png存在唯一极大值点；

（2）50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png有且仅有2个零点．

21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，af8a439cbf1b6f8d3e5699dcf6fd25b9.png表示“甲药的累计得分为865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则305f1f9e977419ea4fee37230ee378c1.png，05bbc50fd25df6fd0cb7230655b78d37.png，9714edbd7a522308f0b6e895b3a2ca2a.pnge3f9b7207e3c602ec09b62c4f660af99.png，其中f82ff8e9dd40216155628ddd81762d36.png，e4e36735195a4387508866e2c8e16884.png，6b6e8b921a18188c91e138b897aa92ba.png．假设2638111e6fb59a79f229da559b740e64.png，d6db6c2c7abba21df97f1506decc0650.png．

(i)证明：eb574940d7e4a9fac6b17a0a9580b910.png61aac0ddf72515757d174d60a049f385.png为等比数列；

(ii)求6a284d9e7a676658bbda3e4e621ebcee.png，并根据6a284d9e7a676658bbda3e4e621ebcee.png的值解释这种试验方案的合理性．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为ecca8bb16c4af592b8da7f043e62354e.png（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为de5c1c8407e3ec900e496d6a57fbea64.png．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）c2e4440eff443475474df467f9312c18.png；

（2）23b129695d696831a98fba7f40ce19bd.png

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】

由题意得，8abc87a3ed924e9a4643d84c06e42764.png，则

80de4c2a24614304d285cf90d0725388.png．故选C．

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．C

【解析】

【分析】

本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．

【详解】

f0b7594fba234dabf0374af5c9be0a26.pnga332ecc134e2ee321bffd47e6f0c47a9.png则8229a5b648d5734db39f83d67a1a4008.png．故选C．

【点睛】

本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．

3．B

【解析】

【分析】

运用中间量cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png比较045d37ac04fa6ab127a5b3a56f421115.png，运用中间量c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png比较cd0e99c78e3917b91436b90eece47338.png

【详解】

3ed2785c9e0a909a14e3469d4878d508.png724362072395433a03812613a6210d21.png867bf4ee338134d03aac1f78fda6b6a9.png则e036c3b33168906f37a7dc4c10bbcba8.png．故选B．

【点睛】

本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

4．B

【解析】

【分析】

理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．

【详解】

设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则0836e9f9567a8adf9e54ad8773f8108d.png，得85ebe5b222dcc92d2107f8334123f375.png．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．

【点睛】

本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．

5．D

【解析】

【分析】

先判断函数的奇偶性，得50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】

由50a5c638bd1f2a2e481364c95bc364c1.png，得50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是奇函数，其图象关于原点对称．又55dbe60e1ae5a2e1600809b11a289eff.png34a7577b7f04b6548e4ec835dfde440e.png．故选D．

【点睛】

本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

6．A

【解析】

【分析】

本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．

【详解】

由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有431a9f1bb72df358a817878d87caf5f4.png情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有c623a59b92258f0a95812299a5c22cf2.png，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3ebe288066107163540ce77141c37f1a.png=ca285119a837b6b5662389d760e84064.png，故选A．

【点睛】

对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．

7．B

【解析】

【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由1688c048db78cffda0fa018b0d8fec85.png得出向量b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】

因为1688c048db78cffda0fa018b0d8fec85.png，所以19ce56014df7520235912992f55b6ea2.png=0，所以aec77ba10769604579440538d285a896.png，所以321b88021c7de8cd6be42ebe3c7fb0df.png=8bdaa5f489aa42218625621262c08ead.png，所以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的夹角为c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png，故选B．

【点睛】

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为e9d2b296f5fafef623cc0b28fb3bf862.png．

8．A

【解析】

【分析】

本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．

【详解】

执行第1次，7ac68b1ebbfcee0b5c50ff419d9e8c81.png是，因为第一次应该计算cc97908904b1a7b0d6ff2d153e7b195d.png=a17150ad20831fb62c321fe0e9773bc8.png，723bc48e07aa6ab62d7b18b6e18860f2.png=2，循环，执行第2次，e994fb2404aaadf7ba789608ad89ce6f.png，是，因为第二次应该计算00a0383f21b6b67d3c11c812c2181b61.png=a17150ad20831fb62c321fe0e9773bc8.png，723bc48e07aa6ab62d7b18b6e18860f2.png=3，循环，执行第3次，e994fb2404aaadf7ba789608ad89ce6f.png，否，输出，故循环体为7d19d5c71bcac77fa23212c57820711e.png，故选A．

【点睛】

秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为7d19d5c71bcac77fa23212c57820711e.png．

9．A

【解析】

【分析】

等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，e22075ebc77e0e5ccb21e27eb2c7bb1b.png，2d5d1aa4fedde3813e833b3c5ed3fd4c.png，排除B，对C，b211336f56e93b66a82161cb44d38924.png，排除C．对D，d054b94e8f3bdd57970652c0a5a0f969.png，排除D，故选A．

【详解】

由题知，74abaa7aa9b4d28881380248eea02dde.png，解得43314e9ca8fbfa5c00c5ecf5618a7b33.png，∴229a2c3dcabd099092e274fd9581ce6e.png，故选A．

【点睛】

本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．

10．B

【解析】

【分析】

由已知可设1718753516777e99c4e90007c46bd60f.png，则a369e8a4f05427cab91cab0b85c010bd.png，得8e4b22a6a0bfeb11701b5d0dd74ebc03.png，在5d547f5097baf63cbec862d62993b515.png中求得46989807b88b7fd1003d454dec60b0e2.png，再在0321e55e4f85094e68c91ad01e3b9bd2.png中，由余弦定理得089ff42922aa4efe99a7ebf1dcd52204.png，从而可求解.

【详解】

法一：如图，由已知可设1718753516777e99c4e90007c46bd60f.png，则a369e8a4f05427cab91cab0b85c010bd.png，由椭圆的定义有035f8fc35d1eda45f604496237110a2e.png．在5d547f5097baf63cbec862d62993b515.png中，由余弦定理推论得a2f2af4ae52c05d6504a061504f1ae7d.png．在0321e55e4f85094e68c91ad01e3b9bd2.png中，由余弦定理得4b798ae8e9c90240983a5207d512faf4.png，解得089ff42922aa4efe99a7ebf1dcd52204.png．

e39720b9c7d833a3f5f41c37b148426d.png所求椭圆方程为4ed2e2aaab6e5f11e40c156c0aa7b255.png，故选B．

法二：由已知可设1718753516777e99c4e90007c46bd60f.png，则a369e8a4f05427cab91cab0b85c010bd.png，由椭圆的定义有035f8fc35d1eda45f604496237110a2e.png．在0321e55e4f85094e68c91ad01e3b9bd2.png和f5f5f3ad7d762342eb5ad48333b9fbe5.png中，由余弦定理得c54404f5a5715203229bae538f1c1d1c.png，又f207c5ea6095c0a40ef45e8a4c1ef15e.png互补，23f9c762d058a9d3197a550d88aa2b6c.png，两式消去e6533555a3744a9793202cded8c12dee.png，得5df1bd1d8df2a3c79ef3726da26f00d9.png，解得089ff42922aa4efe99a7ebf1dcd52204.png．e39720b9c7d833a3f5f41c37b148426d.png所求椭圆方程为4ed2e2aaab6e5f11e40c156c0aa7b255.png，故选B．

【点睛】

本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

11．C

【解析】

【分析】

化简函数2b69913c2eca670f29e4205c97f7cee9.png，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】

8664100e467a876c656c7d304fabed3d.png为偶函数，故①正确．当f7a5034b052b5010d7ab1fe38998f2c1.png时，47747adaf7ba642ea99c7877bb5591aa.png，它在区间84fc5fe07933e3dce7960d0577624019.png单调递减，故②错误．当79e5fa04963b4fc8962eea34c7678807.png时，47747adaf7ba642ea99c7877bb5591aa.png，它有两个零点：bb16819284524fc2c2ce5414cd828aaa.png；当d3a83a38eee08814dff79f56b6757a4b.png时，d401196ffb0597bb52b0734ee0fb8f1d.png，它有一个零点：05180b58be8e415a62cfb8e2621490fa.png，故ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在8fee1cede11dd7f977f6a507050068a2.png有eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个零点：7d57103d611df8387ea205a25c5ea9ec.png，故③错误．当118714628303f98a7e46c71b941cf89f.png时，47747adaf7ba642ea99c7877bb5591aa.png；当036eb5b2c9a259f048a7dfafc93a91ca.png时，ebbcc13af660ab7777e99c760260e016.png，又ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png为偶函数，8e9059640e500351256c8f71d20922a9.png的最大值为c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．

【点睛】

画出函数2b69913c2eca670f29e4205c97f7cee9.png的图象，由图象可得①④正确，故选C．

12．D

【解析】

【分析】

先证得7c151caf5c58b196aa757e618a365485.png平面37e3b0438ab90a43c45f5121e883c4b6.png，再求得37d4aef5d618d70618c30fe81291e3ca.png，从而得f2267ffc9b3f68f642cde73351eeae52.png为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.

【详解】

解法一:fd61bb89e64e4a50e48869d43ad50daf.png为边长为2的等边三角形，6864562652127d4759d6f1edeba6987d.png为正三棱锥，

d1e20c1fe61e7cd713eefad5f10fff5f.png，又3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png分别为06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png、b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点，

9820c08f425a8bc1eecbf25c6d4a1cc6.png，e249cb1d10f1bdb06a70a61c911817f2.png，又496d444ea3150198fa2b4cddb06cd2ab.png，fc5ce1e75c124cbf17eaf90874d3e0ae.png平面37e3b0438ab90a43c45f5121e883c4b6.png，7c151caf5c58b196aa757e618a365485.png平面37e3b0438ab90a43c45f5121e883c4b6.png，56a2af8f604a18671346ce516f4e9962.png，6864562652127d4759d6f1edeba6987d.png为正方体一部分，f74e5132d382cf588fb10c20a996585d.png，即 f1743b78395592a1fab810b00b6f9b2b.png，故选D．

解法二:

设7ee367cc0395e68a9804a82987dbae65.png，e97844b7caa5578d2bc9c7637c0679cf.png分别为6b1834884876ba295360f29566fe6c42.png中点，

9820c08f425a8bc1eecbf25c6d4a1cc6.png，且a2c02c3e5d0ba8458d1f1acad938b804.png，8e05c7f7663fff576e795628b0c639dd.png为边长为2的等边三角形，

1a880c5118b0fab5c4955e152939f205.png又77aab4f08af5891bca38b8de9f4e869b.pngf0e4984553050d8ea92c99ae9ab8e024.png

b18d061c68e8d6c62741db5bfdbeecde.png中余弦定理e245b5b0502c05ac30d2caa4abc847f8.png，作360f36f57e3612685dd8b45ef35fe924.png于f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，3e4230c412b5107c18ecd11a3410937c.png，

2ca533ebbe5f91beec0d6a2cfdd2f209.png为4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png中点，b05884291c486619b07c4220110a9f7f.png，ccfbc87fd0b3dd45ae56e0e93000dc63.png，

3c0af13d0614b1556891f7c698695fc2.png，e99b5c503eacb834d0e22b431b7a8b89.png，又71881c4e0a83afc01de445aca8fa6f0a.png，ffd49bb22337aeec6ff9f9d0dc8afdfc.png两两垂直，924489723d51c24516f9e645a2f361d6.png，f710df6c3a6220e41806ee2ed05b730e.png，61b1b032b396025e37a3c743d60389ca.png，故选D.

【点睛】

本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．

13．c62339856137eec20c5eaa1e14dac843.png.

【解析】

【分析】

本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

【详解】

详解：f092b83d204926e69a3ede2e0ec25cf4.png

所以，0f7f9117303c75d72e8906f61366223c.png

所以，曲线375305e5ab4a378a8a47c8cc8a40b91d.png在点5c16f757233856dcf311176b7410d2d5.png处的切线方程为9c6982e6b4f47b0e55208e5f8a307781.png，即c62339856137eec20c5eaa1e14dac843.png．

【点睛】

准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．

14．318d35556b4344e51433b7cd02e904f0.png.

【解析】

【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到d1749fba1684b0fa960b59ba3d5ace53.png．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】

设等比数列的公比为7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png，由已知2986f97f6e166a92ebb47b6eabfb99ed.png，所以6a38c16f5aee5b21b66f2170e1e74d83.png又c496bd47e87deebc6bd7c49b9002ef72.png，

所以aa236a815017cccf0f640e95ad3d3808.png所以464cecb91cd4b73dbc53d9ab5b4fd3e8.png．

【点睛】

准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．

15．0.216.

【解析】

【分析】

本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．

【详解】

前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以f4a9b4147a8bb6f3b4c39a664553d3a8.png获胜的概率是5785b57deb4bc99272cdc95324b2be72.png

前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以f4a9b4147a8bb6f3b4c39a664553d3a8.png获胜的概率是643e9967ab10f3b41d373cb1452db249.png

综上所述，甲队以f4a9b4147a8bb6f3b4c39a664553d3a8.png获胜的概率是6a4d3bf637f6645b04ebb19be94e4afb.png

【点睛】

由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以f4a9b4147a8bb6f3b4c39a664553d3a8.png获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．

16．2.

【解析】

【分析】

通过向量关系得到412424c30abeeff3831bfb4af45c4ae5.png和2d1be105ae615178de703d0e3a9c0e83.png，得到c1ef6094b2da5bb0a8aece5ef2fd16b5.png，结合双曲线的渐近线可得f69a44c5e2f8b2812b5c1a469eb62df2.pnga567de5147d41c5326a4e8607cc11eae.png从而由954845b815fc108e4e7d957b51fcb402.png可求离心率.

【详解】

如图，

由983092ce33b91a8b40fb106772bae769.png得345b8ee8c3876a551fa680d04dc87938.png又f0b939d067ae94c39722338c958d7e2d.png得OA是三角形79e2155f3f102d83478d96fb535a322b.png的中位线，即d98324633f43d6495894f9eb94c5cdbc.png由7ff17d6b3ad4f2ef284deed0b84bada9.png，得25687c611e03d3686922df276a0002f7.png则f199a83bc893add2fa746749c99a2044.png有c1ef6094b2da5bb0a8aece5ef2fd16b5.png，

又OA与OB都是渐近线，得f69a44c5e2f8b2812b5c1a469eb62df2.png又b08d99e2ec183d8aa0d166304cab5e77.png，得a567de5147d41c5326a4e8607cc11eae.png．又渐近线OB的斜率为954845b815fc108e4e7d957b51fcb402.png，所以该双曲线的离心率为0f788d9f8880e1bc88a19bb1e0fa4f04.png．

【点睛】

本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．

17．（1）d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png；（2）ad6ae7f111dee555409fdb7a33b479d7.png.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：d69f672b98ee3c0b601b05d333b67521.png，从而可整理出c3c1299234647a02263cd0bcff4ff4c0.png，根据2d1aa592c3ace43a34e83de2a64f03ed.png可求得结果；（2）利用正弦定理可得01fa8a089180762d2f0ba39c8daf189a.png，利用04a7405948d1f3f1f1a6299a7d1df503.png、两角和差正弦公式可得关于f762c00f6a2252d8fbe82854b53ea07b.png和101fe3918db2a7f026a9e32c3b89fd41.png的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.

【详解】

（1）e270ac9e9352722b48a0aa1bb3864ae5.png

即：5439fe9a8dd2c52a5aa67e0adef080f0.png

由正弦定理可得：d69f672b98ee3c0b601b05d333b67521.png

69d005f1f0220cc7f4499bfbcea39b19.png

e847a63085c2103d48863087313941cc.png 07033d338cfa96714c4f84c6ccf0faef.png

（2）32f92dd969c254f8c81efbd5ab01af24.png，由正弦定理得：01fa8a089180762d2f0ba39c8daf189a.png

又4c925ecbda876d5ff9bc475572bdcce1.png，d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png

208410fde29de55d210596d48abc9ef8.png

整理可得：9647fa29feb2e71dafa6bc092b69d872.png

cb55a817d2d61dfa32c1c26a007a4f5d.png 9bd64f290e609a059c97ad9b80b8c02a.png

解得：ad6ae7f111dee555409fdb7a33b479d7.png或a9061014cad51393e4ccb0eae0f548dc.png

因为c74e1c7e39891d69fd619935b8436c52.png所以7b9bc3da82982e46b16ec6bb6ea655a6.png，故ad6ae7f111dee555409fdb7a33b479d7.png.

（2）法二：32f92dd969c254f8c81efbd5ab01af24.png，由正弦定理得：01fa8a089180762d2f0ba39c8daf189a.png

又4c925ecbda876d5ff9bc475572bdcce1.png，d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png

208410fde29de55d210596d48abc9ef8.png

整理可得：9647fa29feb2e71dafa6bc092b69d872.png，即4a27dc18109b5999bc93ca9a7f7d4426.png

1312689de869abae097f45826ddba0d1.png

由5d6b49a4570296ff34f8f19ec4642083.png，所以eb0a366ec61e52e80fb5e24c3cf6d69a.png

6e66bce19f1bd79da3a9fc1ae30dd724.png.

【点睛】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

18．（1）见解析；（2）b78f19034bdedb175c5790f1f19c63e1.png.

【解析】

【分析】

（1）利用三角形中位线和a371bdff917b064bbd10f24215f86b82.png可证得f51d42d44b17182f472d7262084d4c37.png，证得四边形862a2ee81d17425f2f98cd4f4a752431.png为平行四边形，进而证得15a5b94b5b160246e7be19d3ff9cc17e.png，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点800618943025315f869e4e1f09471012.png，可证得7c3568af190e772ff42bc9d0cecc5589.png平面61e103960ed42ac51581360d6f5a7393.png，得到平面61e103960ed42ac51581360d6f5a7393.png的法向量67a79cd0a9c2be7467874840bcc1380f.png；再通过向量法求得平面2f63dff9b16cd8ec2e25ee5cf2d780fb.png的法向量70dbf96567025389d8854f1aea4e62ad.png，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.

【详解】

（1）连接9ee9d85a86f0118c40ba2385bb314fd7.png，9b239733ce0481d4d7ab5279c43feb37.png

3f2c7d147869574ec93ee55eaccd040b.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png分别为94c82f367723e9b2d59baad49af43606.png，f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png中点 1077701ba45077fee4e96c0cc77169c4.png为1b9cd983042a2d873f4cdd1e0bdad0d4.png的中位线

6b7b34c8c1ac4403b90069a859ff97e8.png且2eed0459454b6f6051235b4dde6fbde1.png

又8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png为1083d01c3a7ac39b8fbc4ca50d89949b.png中点，且a371bdff917b064bbd10f24215f86b82.png ff7f1eedf8c174b5fcdeb51b5cd9b029.png且339dedfff9e46d56f7e1103990680468.png

028cb65f876157f7d72f979fe96065e0.png 95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png四边形862a2ee81d17425f2f98cd4f4a752431.png为平行四边形

9c66f185c2624221adea6e9ef3ae9dfe.png，又17f50e78ced55bdc6e1f8fcd54add789.png平面0b002db009f0b3b45fd3809254ec9144.png，e908c5c1f8d8341d43cd518ecb382ddf.png平面0b002db009f0b3b45fd3809254ec9144.png

28dad88f35633d0c98a276e6eaa2fbd7.png平面0b002db009f0b3b45fd3809254ec9144.png

（2）设b0d279cfc66e93c1696518e345b64804.png，387c479466e99c7b85fddf1bcdef5956.png

由直四棱柱性质可知：ab1cd083f72b4ebbea71a1aea5cf5fad.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为菱形 efe2481fa6d84fecd94fc490d74fb880.png

则以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：e7326e3ff98fc457aef5fb2175e52dc7.png，7f60f5cae217906d583b23c7d19a0b32.png，3cec70982e0b8a5ff292b274a020a9f1.png，D（0，-1,0）241bc2ba2b9229f8865174e42a2890ab.png

取b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点800618943025315f869e4e1f09471012.png，连接b98f83032f6e8ca0c8f5a38bca1e3d75.png，则3fa233f97c5464adbcc1e9a7690f59fd.png

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为菱形且6d4edae4f0fd21a877c7ff441d3cec6a.png 6e9e1a75ece3b608cbfbe93e9c43e9cc.png为等边三角形 6faa83570ce275d6792fa12e1458de07.png

又824e9b2810c5b6f7d4bd1c7359bac493.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，6e94d1cd2ff4cb0d64d9daf9f9c97281.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png 52c16cb6ffe196541903710dd339d7e2.png

ecbe1d6101b366420eec7a4450a2e0c3.png平面945de25fcb03c39296a4459a1b95e670.png，即7c3568af190e772ff42bc9d0cecc5589.png平面61e103960ed42ac51581360d6f5a7393.png

b3b155b445ae08185afeb2e7cd604a45.png为平面61e103960ed42ac51581360d6f5a7393.png的一个法向量，且79aa83174b092ed9dd28a5ee908bec3a.png

设平面2f63dff9b16cd8ec2e25ee5cf2d780fb.png的法向量4948084f26f668ba65e82a3689333095.png，又6d2b3dec0614f018f2102fe4adc60cca.png，7d88b690e7bdc45e6487514989951b1a.png

3f00657385d41c5a4a67d9102ac9a29c.png，令a9e81193486597a1b265ff2e95db2a8c.png，则6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png，89c87c76f3352254758aea68b152d727.png f7c02126788a22b32673524875fe039a.png

53c7fb7154a8f53a6b177416d4cd38ab.png a475f8f159696d0e14abc0749e6e8174.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png二面角cbfc60688b8067f1043e22aff905d7b5.png的正弦值为：b78f19034bdedb175c5790f1f19c63e1.png

【点睛】

本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.

19．（1）ee2a66b110fa63e8412e4c2cb4f4e33f.png；（2）3689c5e4c90bc01f2764d1512f9f56c2.png.

【解析】

【分析】

（1）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：666981c2e287cf43d1fa31777fa82de4.png，36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png，0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png；根据抛物线焦半径公式可得a935c2d2e199f3f66bf9683cfeae637d.png；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的方程，解方程求得结果；（2）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：5dfdac81e1352d2687089fd4a3e2ebf5.png；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用55e36a4df826d1cc32d7e2a69b7308b8.png可得f419c8712030c49451fdb9fe89f2bf0c.png，结合韦达定理可求得d42b69c47c43cd2b3bb198c3dd159eac.png；根据弦长公式可求得结果.

【详解】

（1）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程为：666981c2e287cf43d1fa31777fa82de4.png，36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png，0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png

由抛物线焦半径公式可知：db7252316f844d09c2d43689a161c8cf.png ca18f8b3fceb9cd3145ae2c9fbebd43d.png

联立56182f36d868593fba78cd8b05692bf2.png得：077fad2345a22c674badf363c159a653.png

则23d9e27259af1c0db045238016e1e15d.png ca893298b3a203f7406b59faccb273ec.png

a13e9744f73231ec9caae38a759a6e2c.png，解得：06e4080310134eae15da6c01c8c435fe.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为：dcc2df086ccb1be32d85334691aeea83.png，即：ee2a66b110fa63e8412e4c2cb4f4e33f.png

（2）设1b6b3e808a3cc205dfcbe4e119f59025.png，则可设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程为：5dfdac81e1352d2687089fd4a3e2ebf5.png

联立44ceebd605726fff3cd67f0cde3da7b6.png得：8527319ceb25a53028d6799aec1e4c87.png

则ec03c017f9575f01ce71490961da53d2.png ebccc56ad5f9e6f5c29818499f64c822.png

7c50be5a9fe051a3052444ccf1fa04c1.png，d1de8821231c4cabdac2317982a20c61.png

3477019b16c68daf7521df4e0d5993de.png 1a4854456da417f5c0053b2bb002c500.png bd02df304e35312e7711e482e1abf1f2.png，0cf39a8baf6eeb8b73c5c253382dab28.png cde1ca2d66d470c7194e1a479a06d5e7.png

则bb4d5a7d1b7350c0c7eaed5ed1189f52.png

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.

20．（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）求得导函数后，可判断出导函数在958973f1dfb8d65598e5769cf650156f.png上单调递减，根据零点存在定理可判断出1d6cfdc2622ddf8a76c28270c16deaf3.png，使得944b4434d35237446d652b4dea20333b.png，进而得到导函数在958973f1dfb8d65598e5769cf650156f.png上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png为ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在d0beaa62001cd5006759e7b6f512c855.png上的唯一零点；当d6517d3f6b14cd1752eb6e90e95e1f3f.png时，首先可判断出在58e9a9b303ebfb3d6984264c0a760231.png上无零点，再利用零点存在定理得到ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在9caf499a769d07d82dfe4b4ab5511ced.png上的单调性，可知2e5fb4a8b57617f1c98ba8bc7fc8684e.png，不存在零点；当90878fab8130fc481f9903b2e3277b62.png时，利用零点存在定理和ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png单调性可判断出存在唯一一个零点；当0dc4c05f4050907eaf6fa0d807b0c791.png，可证得61d7aa7aa6815b85fc49950fb346453f.png；综合上述情况可证得结论.

【详解】

（1）由题意知：ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png定义域为：652e9b72ee713f6dbc5790e9624b0362.png且9d6671066832ae84abdb332ef1353676.png

令02376afcd78676d6294233838fdfe843.png，976fdb0aa03d1568f7c883e9565685d1.png

7eac5076948b835ded0864c88a7e92fc.png，976fdb0aa03d1568f7c883e9565685d1.png

0c5fcb57407759d69e733bc83f2da2db.png在958973f1dfb8d65598e5769cf650156f.png上单调递减，c2ae5ed36677374f97dc04f2902a5f9c.png在958973f1dfb8d65598e5769cf650156f.png上单调递减

6e563ca0c9b8b6c64ca70c52db13fbe5.png在958973f1dfb8d65598e5769cf650156f.png上单调递减

又eb7a854d2f29a09ba21140fc0605d251.png，d69ab92f0ad44f28d099f99e4bfcaa00.png

cf9f0dc01507b6bbe8abd715fb9ae70f.png，使得944b4434d35237446d652b4dea20333b.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png当33935e9ae1098cb6326b854478273790.png时，b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png；6cba3a83c2607164f4b10ec9b9487bd2.png时，c8bab5d6b0a3fd73177fb5069fc90885.png

即5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png在4a5118dfd01f0a43de8f0cc930b874fa.png上单调递增；在9caf499a769d07d82dfe4b4ab5511ced.png上单调递减

则4354047bfb538af878fb79fb1fd72899.png为5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png唯一的极大值点

即：0b5b9b81c16711886bcd666852118de4.png在区间958973f1dfb8d65598e5769cf650156f.png上存在唯一的极大值点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png.

（2）由（1）知：9d6671066832ae84abdb332ef1353676.png，dd1405320843dfe69e83e313e06f4337.png

①当a29d4b61db475f2cb2f039d067022d16.png时，由（1）可知0b5b9b81c16711886bcd666852118de4.png在d0beaa62001cd5006759e7b6f512c855.png上单调递增

c4eb205ebd9389345e1720dd8914c96c.png 8e9059640e500351256c8f71d20922a9.png在d0beaa62001cd5006759e7b6f512c855.png上单调递减

又61dece1bc677fdfaf33798cddb92b520.png

802965d4633401dc7b28da2c5a5e4063.png为ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在d0beaa62001cd5006759e7b6f512c855.png上的唯一零点

②当c37d6a1c0d951919186c8e30f93c37df.png时，0b5b9b81c16711886bcd666852118de4.png在58e9a9b303ebfb3d6984264c0a760231.png上单调递增，在9caf499a769d07d82dfe4b4ab5511ced.png上单调递减

又3a05f9890e4efdcb8fe4516256fadf8d.png ead383f5e37c42db8799132b8192e04d.png

8e9059640e500351256c8f71d20922a9.png在58e9a9b303ebfb3d6984264c0a760231.png上单调递增，此时fdefdb85beafd6d0160136f5c98b36c5.png，不存在零点

又bbb4000f0c23da9498659b253b038f88.png

87caf43e38a98b77b4f1a256a24f37ae.png，使得fe3cafa7ef36694067482aaf5e710d83.png

8e9059640e500351256c8f71d20922a9.png在86a7aa63d24b33e5cf74618170031b72.png上单调递增，在b993c111a140a101e7d66e8472537143.png上单调递减

又a23cb465d6518b0c72ac633cb218059c.png，5080d56ea7cbc027aba85afa6f241dbd.png

0dd73be46b089f292db12c960aeecf0e.png在9caf499a769d07d82dfe4b4ab5511ced.png上恒成立，此时不存在零点

③当90878fab8130fc481f9903b2e3277b62.png时，cdba58911c590ced3e2435dfa39f6873.png单调递减，8e284eac9c4964459bf2301e66e69700.png单调递减

8e9059640e500351256c8f71d20922a9.png在51eb5af44690442ccad72de2d329ef54.png上单调递减

又127cd1050b62421309db0e771ff15183.png，164c913df4f5ea06fbb85d56dddf934a.png

即9e24efa92c2a90f5fe115c2ed5df9d70.png，又ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在51eb5af44690442ccad72de2d329ef54.png上单调递减

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在51eb5af44690442ccad72de2d329ef54.png上存在唯一零点

④当0dc4c05f4050907eaf6fa0d807b0c791.png时，83c955ee1bf05c4a08277df8ebb8d49f.png，350cf3d341157edbd9add268e417fc8b.png

956811ffc5d678b645c49122c3915810.png

即ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在bf1238f56efe9828e3f94f5b5c974166.png上不存在零点

综上所述：ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png有且仅有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个零点

【点睛】

本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.

21．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）1212bc730e7198fd88364614eaad045f.png.

【解析】

【分析】

（1）首先确定02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png的取值，可得904087aff2cb4fc718db6b540110a639.png，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合e0973a76019712924d82f4b4e7152289.png和4ef9cff2047e04349f6399910a5e1592.png的值可求得15be3c2519dc3df50beeab4d9eb20dd8.png；再次利用累加法可求出6a284d9e7a676658bbda3e4e621ebcee.png.

【详解】

（1）由题意可知02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png所有可能的取值为：768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png，cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png，c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png

3698537c3aac5afa9f0c5deb2f962009.png；83ecbcda1229df61a1ce7e75859da8f6.png；a9b35d0da0583fc0c85983134022359e.png

则02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列如下：

（2）d80819f8406fbb12ee90fc1c32c46a92.png，d6db6c2c7abba21df97f1506decc0650.png

eab3dc950bb890595f16530c3f7691eb.png，69f7d63eb65e61c866df92e3d0cd34bf.png，efd2b0771ce6d517584c9e37617c74a0.png

（i）9fa1944126d2c2f9c6a0967137676afe.png

即904087aff2cb4fc718db6b540110a639.png

整理可得：1deb14f9c0afe9d2a5492389faa0ed94.png 85ff336329a5c38f1afdffd5f6f025f8.png

048a775b2fb42621ef5e9234c33e96d1.png9e17cf43a4c687855bc8f8820707a9d1.png是以955595b63aabea1b8ec152d9c2df5970.png为首项，a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png为公比的等比数列

（ii）由（i）知：5f57caca0019639034112f71217d3207.png

a1881eed6983d07cf485a2aed7a42c24.png，8a26451fd1245285a31dc217f7099a57.png，……，5df59a9817da1cc757b8559233762dd3.png

作和可得：e1e244e8d4003748c1c26c16a12f1220.png

dff9935b68f3ad9a27e63e86bba65313.png

f286faac26aee0752768be05d25e963c.png

6a284d9e7a676658bbda3e4e621ebcee.png表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为ba1e6082cc21d6fdc22890aa1cd68500.png，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.

【点睛】

本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.

22．（1）5b407cd3aaae2d541249ac2eda17cd73.png；bcc835d22323101efef2734a736c8151.png；（2）1801cfc88edd59ca7296ac197514e703.png

【解析】

【分析】

（1）利用代入消元法，可求得92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.

【详解】

（1）由a760fa92a604e58556d5b49935b2dc99.png得：c76208a033ae410f950d7c1f5c346b07.png，又6e54384d20c3227cbe54cd93b589fd64.png

2913aa517bacbfc395dc18ec76cf365a.png

整理可得92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的直角坐标方程为：ce2d813c8baec195faf3e1a32fb9318e.png

又86133ae5cd71a054fc78a23671c4e7e1.png，31b7146b874d03ca3ae858cf4795ece2.png

7e18ffa44ab7b27726f5e7d151080007.png的直角坐标方程为：9345ee926ef993a031c3b2a55ada1d60.png

（2）设92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上点的坐标为：f67ba695637c0d8d5c58104d6d9bbe78.png

则92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上的点到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离65bef5833151d10c6470876eac6404cb.png

当a6fd8fcdd0ebec0df361452a17fa08dd.png时，8277e0910d750195b448797616e091ad.png取最小值

则13d506e0fd3f1e9071ae793864fa6006.png

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.

23．（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）利用eb2edd33b6c2b81ff9ee629c4956bbe9.png将所证不等式可变为证明：56ee5a97f770d929efed5ef0ddaa2ff6.png，利用基本不等式可证得fd319c76da0fa50d50ebef1fb80a12d4.png，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得78f34ce4fbc2d5660e2f867d50a6432d.png，再次利用基本不等式可将式转化为6674c19fa202e794504778f1b13821cd.png，在取等条件一致的情况下，可得结论.

【详解】

（1）5c58d2b31995b489ba4b663118bce05a.png 847d2b36f293115ad5eef4ecf5a016d1.png

eb30ff9276a8c04101dc7b91c611c546.png

当且仅当067e8173226f0047ad0e439500259b2f.png时取等号

a1e361b62f318eebafebbaba0e41c6fe.png，即：e7da427b7d7d6d1ea8b79e0ddcef0a8a.png

（2）8d190f10567c4c3fabca2804c9b535ce.png，当且仅当067e8173226f0047ad0e439500259b2f.png时取等号

又e478d2a830d43ed3499ff5594d3930cf.png，0f981aff602dc5b48d107db082d50140.png，f97b48445cd88fbaf6c742bf3635905e.png（当且仅当067e8173226f0047ad0e439500259b2f.png时等号同时成立）

09cbf1a8d223dafa6294b3a6a94cdeb3.png

又eb2edd33b6c2b81ff9ee629c4956bbe9.png dd03113f2450499669a3dc8cfe76a208.png

【点睛】

本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.

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