（完整版）2019年山东省济南市中考数学试卷（解析版）

2019年山东省济南市中考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．﹣7的相反数是（　　）

A．﹣7 B．﹣ C．7 D．1

2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（　　）

A． B．

C． D．

3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（　　）

A．0.1776×103 B．1.776×102 C．1.776×103 D．17.76×102

4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（　　）

A．20° B．35° C．55° D．70°

5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　）

A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0

6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线

C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线

7．化简+的结果是（　　）

A．x﹣2 B． C． D．

8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（　　）

A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m

9．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　）

A．9﹣3π B．9﹣2π C．18﹣9π D．18﹣6π

11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（　　）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）

A．225m B．275m C．300m D．315m

12．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　）

A．＜t＜ B．﹣1＜t≤ C．﹣≤t＜ D．﹣1＜t＜

二、填空题（每小题4分，共24分．）

13．分解因式：m2﹣4m+4＝　 　．

14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于　 　．

15．一个n边形的内角和等于720°，则n＝　 　．

16．代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝　 　．

17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多　 　元．

18．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于　 　．

三、解答题

19．（6分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+

20．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．

21．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．

22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．

（1）求A和B两种图书的单价；

（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？

23．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．

（1）求证；∠ABD＝∠CAB；

（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．

24．（10分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：

4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2

5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2

4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1

4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3

根据数据绘制了如下的表格和统计图：

根据上面提供的信息，回答下列问题：

（1）统计表中的a＝　 　，b＝　 　；

（2）请补全条形统计图；

（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？

（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．

25．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．

（1）求a和k的值；

（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．

①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；

②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的m的值．

26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一）猜测探究

在△ABC中， AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．

（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是　 　，NB与MC的数量关系是　 　；

（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二）拓展应用

如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．

27．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．

（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；

（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．解：﹣7的相反数为7，

故选：C．

2．解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；

B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；

C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；

D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；

故选：D．

3．解：177.6＝1.776×102．

故选：B．

4．解：∵DE∥BC，

∴∠1＝∠ABC＝70°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE＝∠ABC＝35°，

故选：B．

5．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，

∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，

∴关系式不成立的是选项C．

故选：C．

6．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C．

7．解：原式＝+＝＝，

故选：B．

8．解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，

平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，

故选：B．

9．解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．

a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；

故选：D．

10．解：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝6，

∵∠B＝60°，E为BC的中点，

∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，

∵∠B＝60°，

∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，

由勾股定理得：AE＝＝3，

∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，

∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，

故选：A．

11．解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．

在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，

在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，

解得x＝180，y＝135，

∴AC＝＝＝300（m），

故选：C．

12．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，

∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），

∴a﹣b+＝0，

∴b＝a+，t＝2a+b，

则a＝，b＝，

∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，

∴﹣＞0，﹣＞0，

将a＝，b＝代入上式得：

＞0，解得：﹣1＜t＜，

﹣＞0，解得：t或1＜t＜3，

故：﹣1＜t＜，

故选：D．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．解：原式＝（m﹣2）2，

故答案为：（m﹣2）2

14．解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，

所以指针指向每个扇形的可能性相等，

即有8种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，

所以指针落在红色区域的概率是＝；

故答案为．

15．解：依题意有：

（n﹣2）•180°＝720°，

解得n＝6．

故答案为：6．

16．解：根据题意得： +3﹣2x＝4，

去分母得：2x﹣1+9﹣6x＝12，

移项合并得：﹣4x＝4，

解得：x＝﹣1，

故答案为：﹣1

17．解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，

，得，

即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，

当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，

由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），

660﹣450＝210（元），

即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，

故答案为：210．

18．解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，

由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，

CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，

∴NC＝MD＝8﹣5＝3，

在Rt△FNC中，FN＝＝4，

∴MF＝5﹣4＝1，

在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，

12+（3﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，

∴△FNC∽△PGF，

∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，

设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，

∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，

解得：m＝1，

∴PF＝5m＝5，

∴PE＝PF+FE＝5+＝，

故答案为：．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19．解：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+

＝2+1﹣2×+3

＝3﹣1+3

＝5

20．解：

解①得：x≤4；

解②得：x＞2；

∴原不等式组的解集为2＜x≤10；

∴原不等式组的所有整数解为3、4、5、6、7、8、9、10．

21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，

∵∠DAF＝∠BCE，

∴∠ABF＝∠DCE，

在△ABF和△CDE中，，

∴△ABF≌△CDE（ASA），

∴BF＝DE．

22．解：（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，

依题意，得：﹣＝20，

解得：x＝20，

经检验，x＝20是所列分式方程的解，且符合题意，

∴1.5x＝30．

答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．

（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．

答：共花费880元．

23．解：（1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，

即∠ABD＝∠CAB；

（2）连接BC．

∵AB是⊙O的两条直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CE为⊙O的切线，

∴∠OCE＝90°，

∵B是OE的中点，

∴BC＝OB，

∵OB＝OC，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∴∠A＝30°，

∴BC＝AC＝4，

∴OB＝4，

即⊙O的半径为4．

24．解：（1）由题意知C等级的频数a＝8，

则C组对应的频率为8÷40＝0.2，

∴b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，

故答案为：8、0.15；

（2）

D组对应的频数为40×0.15＝6，

补全图形如下：

（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有400×0.25＝100（人）；

（4）列表如下：

得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，

所以恰好选到1名男生和1名女生的概率＝．

25．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，

∴﹣2×0+b＝8，

∴b＝8，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，

将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，

∴a＝4，

∴B（2，4），

将B（2，4）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；

（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，

当m＝3时，

∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，

∴D（2+3，4），

即：D（5，4），

∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，

∴E（5，），

∴DE＝4﹣＝，EF＝，

∴＝＝；

②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，

∴CD＝AB，AC＝BD＝m，

∵A（0，8），B（2，4），

∴C（m，8），D（（m+2，4），

∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，

∴Ⅰ、当BC＝CD时，

∴BC＝AB，

∴点B在线段AC的垂直平分线上，

∴m＝2×2＝4，

Ⅱ、当BC＝BD时，

∵B（2，4），C（m，8），

∴BC＝，

∴＝m，

∴m＝5，

即：△BCD是以BC为腰的等腰三形，满足条件的m的值为4或5．

26．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．

理由：如图1中，

∵∠MAN＝∠CAB，

∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，

∴∠NAB＝∠MAC，

∵AB＝AC，AN＝AM，

∴△NAB≌△MAC（SAS），

∴BN＝CM．

故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．

（2）如图2中，①中结论仍然成立．

理由：∵∠MAN＝∠CAB，

∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，

∴∠NAB＝∠MAC，

∵AB＝AC，AN＝AM，

∴△NAB≌△MAC（SAS），

∴BN＝CM．

（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1Q，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．

∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，

∴∠QA1B1＝∠PA1N，

∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，

∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），

∴B1Q＝PN，

∴当PN的值最小时，QB1的值最小，

在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，

∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，

∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，

∴A1C1＝4，

∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，

在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，

∴NH＝4﹣4，

根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，

∴QB1的最小值为4﹣4．

27．解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得

解得

∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，

配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；

（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．

∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1

∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x

将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，

∴直线l解析式为y＝x﹣，

∵D（m，﹣m2﹣4m），

∴直线DO的解析式为y＝﹣（m+4）x，

由抛物线C与抛物线C′关于原点对称，可得点D、E关于原点对称，

∴E（﹣m，m2+4m）

如图2，过点D作DH∥y轴交直线l于H，过E作EK∥y轴交直线l于K，

则H（m， m﹣），K（﹣m， m﹣），

∴DH＝﹣m2﹣4m﹣（m﹣）＝﹣m2m+，EK＝m2+4m﹣（m﹣）＝m2+m+，

∵DE＝2EM

∴＝，

∵DH∥y轴，EK∥y轴

∴DH∥EK

∴△MEK∽△MDH

∴＝＝，即DH＝3EK

∴﹣m2m+＝3（m2+m+）

解得：m1＝﹣3，m2＝，

∵m＜﹣2

∴m的值为：﹣3；

（3）由（2）知：m＝﹣3，

∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，

如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20

∴AB2+BG2＝AG2

∴△ABG是Rt△，∠ABG＝90°，

∴tan∠GAB＝＝＝，

∵∠DEP＝∠GAB

∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，

在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，

过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；

∵E（3，﹣3），

∴∠EOT＝45°

∵∠EOH＝90°

∴∠HOT＝45°

∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，

则，解得

∴直线EH解析式为y＝﹣x，

解方程组，得，，

∴点P的横坐标为：或．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0114a40a316c1eb91a37f111f18583d049640ffe.html