典例探究答案:
【例1】
分析:由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:解:∵a<0,
∴抛物线的开口方向向下,
故第三个选项错误;
∵c<0,
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上,
故第一个选项错误;
∵a<0,b>0,对称轴为x=word/media/image71_1.png>0,
∴对称轴在y轴右侧,
故第四个选项错误.
故选B.
点评:考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数符号的关系.
练1.
分析:由抛物线的开口向下可知a的符号,由对称轴为x=word/media/image71_1.png<0可以推出b的取值范围,然后即可作出选择.
解答:解:∵选项A,B对称轴为y轴,
∴对称轴为x=word/media/image71_1.png=0,即b=0,故此选项错误;
C、∵抛物线开口向上,x=word/media/image71_1.png>0
∴a、b异号,
即b<0.故此选项正确;
D、∵抛物线开口向下,x=word/media/image71_1.png>0
∴a、b异号,
即b>0.故此选项错误;
故选:C.
点评:本题考查的是二次函数的图象与系数的关系,根据对称轴符号以及a的符号得出是解题关键.
【例2】
分析:利用一次函数图象得出a,b的符号进而得出二次函数开口方向和对称轴位置,即可得出答案.
解答:解:已知直线y=ax+b如图所示:
故a<0,b>0,
∵a,b异号,
∴二次函数对称轴在x轴正半轴,
且开口向下,
故选:B.
点评:此题主要考查了一次函数与二次函数图象与系数的关系,熟练利用一次函数性质得出a,b符号是解题关键.21世纪教育网版权所有
练2.
分析:根据图象可得出方程=(x﹣m)(x﹣n)=0的两个实数根为m,n,且一正一负,又m<n,则m<0<n.根据一次函数y=nx+m的图象的性质即可得出答案.
解答:解:如图,∵函数y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m<n),
∴抛物线与x轴的两个交点横坐标分别是m,n,且m<0<n.
∴y=nx+m的图象经过第一、三象限,且与y轴交于负半轴.
故选:D.
点评:本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质,是重点内容要熟练掌握.
【例3】
分析:①抛物线开口向下得到a<0,对称轴在y轴的左侧,a与b同号,得到b<0,抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c<0,于是abc<0;21cnjy.com
②抛物线与x轴没有交点,所以△=b2﹣4ac<0;
③取x=1,观察图象得到图象在x轴下方,则x=1,y=a+b+c<0;
④取x=﹣1,观察图象得到图象在x轴下方,则x=﹣1,y=a﹣b+c<0.
解答:解:①抛物线开口向下,则a<0,对称轴在y轴的左侧,则x=word/media/image71_1.png<0,则b<0,抛物线与y轴的交点在x轴的下方,则c<0,abc<0;21·cn·jy·com
②抛物线与x轴没有交点,所以△=b2﹣4ac<0;
③当自变量为1时,图象在x轴下方,则x=1时,y=a+b+c<0;
④当自变量为﹣1时,图象在x轴下方,则x=﹣1时,y=a﹣b+c<0.
点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象:
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右(简称:左同右异);www.21-cn-jy.com
③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).
④抛物线与x轴交点个数.
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.2·1·c·n·j·y
练3.
分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:解:①∵抛物线的开口向上,
∴a>0,
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,
∴c<0,
∵对称轴为x=word/media/image71_1.png>0,
∴a、b异号,即b<0,
∴abc>0;
故本结论正确;
②∵对称轴为x=word/media/image71_1.png=1,
∴2a=﹣b,
∴2a+b=0;
故本结论正确;
③从图象知,该函数与x轴有两个不同的交点,所以根的判别式△=b2﹣4ac>0,即b2>4ac;
故本结论正确;
④由图象知,x=﹣1时y>0,所以a﹣b+c>0,故本结论错误.
故选D.
点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式以及特殊值的熟练运用.
课后小测答案:
一、选择题
1.解:A、抛物线开口向下,则a<0,所以A选项的关系式正确;
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧,a、b异号,则b>0,所以B选项的关系式正确;
C、抛物线与x轴有2个交点,则△=b2﹣4ac>0,所以D选项的关系式正确;
D、当x=1时,y>0,则a+b+c>0,所以D选项的关系式错误.
故选D.
2.解:∵图象开口方向向上,
∴a>0;
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上,
∴word/media/image71_1.png>0,
∵a>0,
∴b<0;
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上,
∴c<0;
∴a>0,b<0,c<0.
故选:C.
3.解:a<0,图象开口向下,故A、B错误;
c>0,图象与y轴的交点在x轴的上方,故C错误;故D正确;
故选:D.
4.解:∵抛物线开口向上,与y轴交于正半轴,
∴a>0,c>0,
∴一次函数y=ax+c的图象经过第一、二、三象限.
故选A.
5.解:∵二次函数y=ax2+bx+c中a>0,
∴该函数图象开口方向向上.
故D错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b>0,
∴对称轴x=word/media/image71_1.png<0.
故B错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c中c<0,
∴该函数图象与y轴交于负半轴,
故C错误.
故选A.
6.解:∵a>0,∴y=ax2+bx图象开口向上,排除C、D;
∵a>0,b<0,∴函数y=ax+b图象经过第一、三、四象限,排除A,
故选B
7.解:A、∵当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向下,
∴a<0,
∴二次函数y2=cx2+bx+a与y轴交于负半轴;
故本选项错误;
B、∵当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向下,
∴a<0;
又对称轴x=word/media/image71_1.png>0,
∴b>0,
而该函数与y轴交于负半轴,
∴c=0;
∴二次函数y2=cx2+bx+a变为一次函数,故本选项错误;
C、∵当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向上,
∴a>0,
∴二次函数y2=cx2+bx+a与y轴交于正半轴;
故本选项错误;
D、∵当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向上,
∴a>0,此时c<0,
∴二次函数y2=cx2+bx+a与y轴交于正半轴;
故本选项正确.
故选D.
8.解:∵当a>0时,二次函数的图象的开口向上,
∴选项B和C错误;
∵c<0,
∴二次函数的图象的顶点的纵坐标是负数,在x轴的下方,
∴选项A、D都符合,
∵b<0,
∴二次函数的图象的顶点的横坐标是﹣b>0,
即顶点在y轴的右边,
∴选项D错误;只有选项A正确;
故选A.
9.解:A、图象与x轴有2个交点,依据根的判别式可知b2﹣4ac>0,故本选项正确;
B、当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,故本选项正确;
C、∵图象开口向上,∴a>0,
∵与y轴交于负半轴,∴c<0,
∵对称轴在y轴右侧,∴word/media/image71_1.png>0,
∴b<0,
∴abc>0,故本选项错误;
D、∵对称轴在1的左边,∴word/media/image71_1.png<1,又a>0,∴2a+b>0,故本选项正确.
故选C.
10.解:①当x=1时,y=a+b+c=0,故①错误;
②当x=﹣1时,图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1,
∴y=a﹣b+c<0,
故②正确;
③由抛物线的开口向下知a<0,
∵对称轴为0<x=word/media/image71_1.png<1,
∴2a+b<0,
故③正确;
④对称轴为x=word/media/image71_1.png>0,a<0
∴a、b异号,即b>0,
由图知抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0
∴abc<0,
故④错误;
∴正确结论的序号为②③.
故选:B.
11.解:当a>0时,因为abc<0,所以b、c异号,由D图可知c<0,
故b>0,∴word/media/image71_1.png<0,即函数对称轴在y轴左侧,选项(D)不符合题意.
由B图可知c>0,故b<0,∴word/media/image71_1.png>0,即函数对称轴在y轴右侧,选项(B)不符合题意.
显然a<0时,开口向下,因为abc<0,所以b、c同号,
对于A、由图象可知c>0,则b>0,对称轴word/media/image71_1.png>0,即函数对称轴在y轴右侧,A不正确;
对于 C,c>0,则b>0,对称轴word/media/image71_1.png>0,C选项正确.
故选C.
12. 解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴b>0,所以A选项错误;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,
∴x=1时,y>0,
∴a+b+c>0,
∴点(a+b+c,abc)在第四象限.
故选D.
二、解答题
13.解:∵△=b2﹣4ac>0,
∴这个函数图象与x轴有两个交点,
设这个函数图象与x轴两个交点的坐标为(x1,0)、(x2,0),
∵x1•x2=word/media/image73_1.png,a>0,c<0,
∴x1•x2<0,
∴一个在x轴的正半轴,另一个在x轴的负半轴.
14.解:(1)当图象经过(﹣1,0),(4,0)时,抛物线对称轴为:直线x=word/media/image74_1.png,
∵图象经过﹣1与﹣2之间,
∴word/media/image71_1.png<word/media/image74_1.png,
∴﹣b>3a,
∴3a+b<0,故此选项错误;
(2)当x=﹣1时,a﹣b+c>0,
∵图象经过(0,1),
∴c=1,
∴a﹣b+1>0,
∴a+1>b,
∵对称轴在x轴正半轴,
∴a,b异号,
∵图象开口向下,
∴a<0,
∴b>0,
∴0<b<a+1,此选项正确;
(3)∵图象经过﹣1与﹣2之间,以及(4,0)点,
∴word/media/image71_1.png>1,
∴﹣b<2a,
∴2a+b>0,故此选项正确;
(4)当图象过点(﹣1,0),(4,0)时,
设解析式为:y=ax2+bx+1,则word/media/image75_1.png,
解得:word/media/image76_1.png,
当图象过点(﹣2,0),(4,0)时,
设解析式为:y=ax2+bx+1,则word/media/image77_1.png,
解得:word/media/image78_1.png,
∴﹣word/media/image79_1.png<a<﹣word/media/image80_1.png,故此选项正确.
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附件2:独家资源交换签约学校名录(放大查看)
学校名录参见:http://21世纪教育网/wxt/list. aspx? ClassID=3060 21教育网
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