1.(5分)(2015秋•信阳期末)若集合A={1,9},B={﹣1,x2},则“x=3”是“A∩B={9}”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(5分)(2015秋•信阳期末)把1011011(2)转化成十进制数为( )
A.88 B.89 C.90 D.91
3.(5分)(2015秋•信阳期末)若函数f(x)满足f(x)=x2lnx+3xf′(1)﹣1,则f′(1)等于( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣1 D.1
4.(5分)(2015秋•信阳期末)抛物线y= x2上一点M到焦点的距离为4,则点M的纵坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(5分)(2015秋•信阳期末)若函数f(x)=ax3﹣2x2在x=﹣1时取得极值,则f(1)等于( )
A.﹣ B.﹣ C.0 D. 6.(5分)(2015秋•信阳期末)为了了解学生平均每天零花钱的数量(钱数取整数元),以便引导学生树立正确的消费观,某校从高一年级1000名学生中随机抽取100名进行了调查,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),据此估计高一年级每天零花钱在[6,14)内的学生数为( )
A.780 B.680 C.648 D.460
7.(5分)(2015秋•信阳期末)“辗转相除法”的算法思路如右图所示.记R(a\b)为a除以b所得的余数(a,b∈N*),执行程序框图,若输入a,b分别为243,45,则输出b的值为( )
A.0 B.1 C.9 D.18
8.(5分)(2015秋•信阳期末)已知函数f(x)=2x2+ax﹣2b,若a,b都是区间[0,4]内的数,则使f(1)<0的概率是( )
A. B. C. D. 9.(5分)(2015秋•信阳期末)已知函数f(x)=x﹣alnx在区间(0,2]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(0, ) B.(0,2) C.( ,+∞) D.[2,+∞)
10.(5分)(2015秋•信阳期末)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到如下数据:
单价x(元) 4.4 4.13.6 3.22.71.8
销量y(千件) 1.62 m4.8 5.2 6
由表中数据,求的线性回归方程 =﹣2x+10.6,则表中m的值为( )
A.4.2 B.4.4 C.4.6 D.4.7
11.(5分)(2015秋•信阳期末)曲线f(x)= 在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A.x﹣ y﹣2=0 B. x+y﹣2=0 C.x﹣ y+2=0 D. x+y+2=0
12.(5分)(2015秋•信阳期末)双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 ,左、右交点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且满足|OP|=|OF2|(O为坐标原点),则|PF1|:|PF2|等于( )
A. :1 B. :1 C.2:1 D. :2
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置
13.(5分)(2015秋•信阳期末)命题p:“存在n0∈N,使得2n>2016”的否定¬p是 .
14.(5分)(2015秋•信阳期末)函数f(x)=x3﹣ x2+3在区间[﹣1,1]上的最小值为 .
15.(5分)(2015秋•信阳期末)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,其中m∈(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),则甲的平均数不小于乙的平均数的概率为 .
16.(5分)(2015秋•信阳期末)直线y=x﹣4与抛物线y2=2x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线l做垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为 .
(12分)(2015秋•信阳期末)已知命题p:f(x)= sinx+ +k(x∈R,k>0),3≤f(x)≤6恒成立,命题q:方程 ﹣ =1表示焦点在x轴上的双曲线,若p∧q为真命题,求实数k的取值范围.
.(12分)(2015秋•信阳期末)2015﹣2016学年高二A班50名学生在其中数学测试中(满分150分),成绩都介于100分到150分之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[100,110),第二组[110,120),…,第五组[140,150),按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,
(1)将频率分布直方图补充完整;
(2)若成绩大于等于110分且小于130分规定为良好,求该班在这次数学测试中成绩为良好的人数;
(3)请根据频率分布直方图,估计样本数据的众数和中位数(精确到0.1).
.(12分)(2015秋•信阳期末)为迎接2016年春节的到来,某公司制作了猴年吉祥物,该吉祥物每个成本为6元,每个售价为x(6<x<11)元,预计该产品年销售量为m万个,已知m与售价x的关系满足:m=68﹣k(x﹣5)2+x,且当售价为10元时,年销售量为28万个.
(1)求该吉祥物年销售利润y关于售价x的函数关系式;
(2)求售价为多少时,该吉祥物的年利润最大,并求出最大年利润.
.(12分)(2015秋•信阳期末)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,点P( , )在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)
.(12分)(2015秋•信阳期末)已知f(x)= (e是自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的极大值;
(Ⅱ)令h(x)=a+2f′(x)(a∈R),若h(x)有两个零点,x1,x2(x1<x2),求a的取值范围;
(Ⅲ)设F(x)=aex﹣x2,在(Ⅱ)的条件下,试证明0<F(x1)<1.
1.(5分)(2015秋•信阳期末)若集合A={1,9},B={﹣1,x2},则“x=3”是“A∩B={9}”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据集合的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:若A∩B={9},则x2=9,即x=3或x=﹣3,
则“x=3”是“A∩B={9}”的充分不必要条件,
故选:B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合的关系求出x的值是解决本题的关键.
2.(5分)(2015秋•信阳期末)把1011011(2)转化成十进制数为( )
A.88 B.89 C.90 D.91
【分析】按照二进制转化为十进制的法则,二进制一次乘以2的n次方,(n从0到最高位)最后求和即可.
【解答】解:1011011(2)=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20=91(10),
故选:D.
【点评】本题考查算法的概念,以及进位制,需要对进位制熟练掌握并运算准确.属于基础题.
3.(5分)(2015秋•信阳期末)若函数f(x)满足f(x)=x2lnx+3xf′(1)﹣1,则f′(1)等于( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣1 D.1
【分析】求函数的导数,令x=1即可得到结论.
【解答】解:函数的导数f′(x)=2xlnx+x2 +3f′(1)=2xlnx+x+3f′(1),
令x=1,则f′(1)=1+3f′(1),
即2f′(1)=﹣1,f′(1)=﹣ ,
故选:A.
【点评】本题主要考查函数的导数的计算,根据函数的导数公式建立方程关系是解决本题的关键.比较基础.
4.(5分)(2015秋•信阳期末)抛物线y= x2上一点M到焦点的距离为4,则点M的纵坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】将抛物线的方程化为标准方程,求得焦点和准线方程,运用抛物线的定义,可得M的纵坐标.
【解答】解:抛物线y= x2即为x2=8y,
焦点F为(0,2),准线为y=﹣2,
由抛物线定义可得|MF|=yM+2,
由题意可得yM+2=4,
解得yM=2,
故选:D.
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质,考查定义法的运用,考查运算能力,属于基础题.
5.(5分)(2015秋•信阳期末)若函数f(x)=ax3﹣2x2在x=﹣1时取得极值,则f(1)等于( )
A.﹣ B.﹣ C.0 D. 【分析】对函数求导,因为x=﹣1是极值点,则该处导数为0,故可求出a的值,即可求出f(1).
【解答】解:由已知得f′(x)=3ax2﹣4x,
又因为在x=﹣1处有极值,
所以f′(﹣1)=0,
即3a+4=0,即a=﹣ ,
所以f(1)=﹣ ﹣2=﹣ .
故选:A.
【点评】本题考查了极值点处的性质,即极值点处导数为零,据此列出a的方程求解,属基础题.
6.(5分)(2015秋•信阳期末)为了了解学生平均每天零花钱的数量(钱数取整数元),以便引导学生树立正确的消费观,某校从高一年级1000名学生中随机抽取100名进行了调查,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),据此估计高一年级每天零花钱在[6,14)内的学生数为( )
A.780 B.680 C.648 D.460
【分析】根据频率分布直方图,利用频率和为1,求出在[6,14)内的频率与频数即可.
【解答】解:根据频率分布直方图得,每天零花钱在[6,14)内的频率为
1﹣(0.02+0.03+0.03)×4=0.68;
对应的学生数是1000×0.68=680;
故选:B.
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,是基础题目.
7.(5分)(2015秋•信阳期末)“辗转相除法”的算法思路如右图所示.记R(a\b)为a除以b所得的余数(a,b∈N*),执行程序框图,若输入a,b分别为243,45,则输出b的值为( )
A.0 B.1 C.9 D.18
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,b,y的值,当y=0时满足条件y=0,退出循环,输出b的值为9.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
a=243,b=45
y=18,
不满足条件y=0,a=45,b=18,y=9
不满足条件y=0,a=18,b=9,y=0
满足条件y=0,退出循环,输出b的值为9.
故选:C.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的a,b,y的值是解题的关键,属于基础题.
8.(5分)(2015秋•信阳期末)已知函数f(x)=2x2+ax﹣2b,若a,b都是区间[0,4]内的数,则使f(1)<0的概率是( )
A. B. C. D. 【分析】本题利用几何概型求解即可.在a﹣o﹣b坐标系中,画出f(1)<0对应 的区域,和a、b都是在区间[0,4]内表示的区域,计算它们的比值即得.
【解答】解:f(1)=2+a﹣2b<0,即a﹣2b+2<0,
则a,b都是从区间[0,4]任取的一个数,有f(1)<0,
即满足条件: 转化为几何概率如图所示,
其中A(0,1),C(4,3),
事件“f(1)<0”的表示的平面区域为阴影部分,
其面积为S= (1+3)×4=8,
∴事件“f(1)<0”的概率为 = ;
故选:C.
【点评】本小题主要考查几何概型、二次函数的性质等基础知识.古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.
9.(5分)(2015秋•信阳期末)已知函数f(x)=x﹣alnx在区间(0,2]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(0, ) B.(0,2) C.( ,+∞) D.[2,+∞)
【分析】利用函数单调和导数之间的关系转化为f′(x)≤0恒成立,利用参数分离法进行求解即可.
【解答】解:函数的导数为f′(x)=1﹣ ,
若函数f(x)=x﹣alnx在区间(0,2]上单调递减,
则等价为f′(x)≤0恒成立,
即1﹣ ≤0,即 ≥1,即a≥x,
∵0<x≤2,
∴a≥2,
故选:D
【点评】本题主要考查函数单调性和导数的关系,利用参数分离法是解决本题的关键.比较基础.
10.(5分)(2015秋•信阳期末)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到如下数据:
单价x(元) 4.4 4.13.6 3.22.71.8
销量y(千件) 1.62 m4.8 5.2 6
由表中数据,求的线性回归方程 =﹣2x+10.6,则表中m的值为( )
A.4.2 B.4.4 C.4.6 D.4.7
【分析】计算样本中心点,根据线性回归方程恒过样本中心点,列出方程,求解即可得到结论.
【解答】解:由题意, =3.96, =3.72+0.2m,
∵y关于x的线性回归方程为 =﹣2x+10.6,
根据线性回归方程必过样本的中心,
∴3.72+0.2m=﹣2×3.96+10.6,
∴m=4.4.
故选:B.
【点评】本题考查线性回归方程的运用,解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点,这是线性回归方程中最常考的知识点.属于基础题.
11.(5分)(2015秋•信阳期末)曲线f(x)= 在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A.x﹣ y﹣2=0 B. x+y﹣2=0 C.x﹣ y+2=0 D. x+y+2=0
【分析】求出导数,求得切线的斜率和切点,由斜截式方程即可得到所求切线的方程.
【解答】解:f(x)= 的导数为
f′(x)= • ,
即有在点(0,f(0))处的切线斜率为 • = ,
切点为(0,﹣ ),
则切线的方程为y= x﹣ ,即为x﹣ y﹣2=0.
故选:A.
【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,正确求导和运用直线方程的形式是解题的关键.
12.(5分)(2015秋•信阳期末)双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 ,左、右交点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且满足|OP|=|OF2|(O为坐标原点),则|PF1|:|PF2|等于( )
A. :1 B. :1 C.2:1 D. :2
【分析】运用双曲线的离心率的公式可得c= a,再求得b=2a,由|OP|=|OF2|可得PF1⊥PF2,运用双曲线的定义和勾股定理,解方程可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,进而得到所求的比.
【解答】解:由题意可得e= = ,即c= a,
可得b= =2a,
由|OP|=|OF2|可得PF1⊥PF2,
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,①
由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,②
由①②解得|PF1|= +a=4a,
|PF2|= ﹣a=2a,
可得|PF1|:|PF2|=2:1.
故选:C.
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质,以及勾股定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置
13.(5分)(2015秋•信阳期末)命题p:“存在n0∈N,使得2n>2016”的否定¬p是 任意n∈N,都有2n≤2016 .
【分析】直接写出特称命题的否定得答案.
【解答】解:命题p:“存在n0∈N,使得2n>2016”是特称命题,其否定¬p是:任意n∈N,都有2n≤2016.
故答案为:任意n∈N,都有2n≤2016.
【点评】本题考查特称命题的否定,关键是掌握特称命题的否定的格式,是基础题.
14.(5分)(2015秋•信阳期末)函数f(x)=x3﹣ x2+3在区间[﹣1,1]上的最小值为 .
【分析】由已知得f′(x)=3x2﹣3x,令f′(x)=0,得x=1或x=0,由此能求出函数f(x)在区间[﹣1,1]上最小值.
【解答】解:f′(x)=3x2﹣3x=3x(x﹣1),
令f′(x)>0,解得:x>1或x<0,
令f′(x)<0,解得:0<x<1,
∴f(x)在[﹣1,0)递增,在(0,1]递减,
∴f(x)的最小值是f(﹣1)或f(1),
而f(﹣1)= ,f(1)= ,
故答案为: .
【点评】本题考查函数的最值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
15.(5分)(2015秋•信阳期末)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,其中m∈(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),则甲的平均数不小于乙的平均数的概率为 .
【分析】先分别求出甲、乙的平均数,从而得到m的值应该取5,6,7,8,9,由此求出甲的平均数不小于乙的平均数的概率.
【解答】解:乙的平均数为: = =22,
甲的平均数为: = = ,
∵m∈(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),且甲的平均数不小于乙的平均数,
∴m的值应该取7,8,9,
∴甲的平均数不小于乙的平均数的概率p= .
故答案为: .
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图的合理运用.
16.(5分)(2015秋•信阳期末)直线y=x﹣4与抛物线y2=2x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线l做垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为 33 .
【分析】求得抛物线的准线方程,将直线y=x﹣4代入抛物线方程,解得交点A,B的坐标,可得A,B到准线的距离,再由梯形的面积公式计算即可得到所求值.
【解答】解:抛物线y2=2x的准线方程为x=﹣ ,
由y=x﹣4代入抛物线的方程y2=2x,可得:
x2﹣10x+16=0,
解得x=2或8,
可设A(2,﹣2),B(8,4),
即有A到准线的距离为 ,B到准线的距离为 ,
|PQ|=4+2=6,
可得直角梯形APQB的面积为 ×6×( + )=33.
故答案为:33.
【点评】本题考查抛物线的方程和性质,考查梯形的面积的求法,注意联立直线方程和抛物线的方程,求得交点,考查运算能力,属于中档题.
三、解答题:本大题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2015秋•信阳期末)我校在高三某班参加夏令营的12名同学中,随机抽取6名,统计他们在参加夏令营期间完成测试项目的个数,并制成茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数
(1)若完成测试项目的个数大于样本均值的同学为优秀学员,根据茎叶图推断该班12名同学中优秀学员的人数;
(2)从这6名同学中任选2人,设这两人完成测试项目的个数分别为x,y,求|x﹣y|≤2的概率.
【分析】(1)先求出样本均值,样本中大于均值的有2人,从而求出样本的优秀率,进而能求出12名同学中优秀学员的人数.
(2)6人中任取2人,利用列举法求出完成测试项目个数构成的基本事件和满足|x﹣y|≤2的事件,由此能求出|x﹣y|≤2的概率.
【解答】解:(1)样本均值为 = (17+19+20+21+25+30)=22,
样本中大于22的有2人,∴样本的优秀率为 ,
∴12名同学中优秀学员的人数为 =4.
(2)6人中任取2人,完成测试项目个数构成的基本事件为:
(17,19),(17,20),(17,21),(17,25),(17,30),(19,20),(19,21),(19,25),
(19,30),(20,21),(20,25),(20,30),(21,25),(21,30),(25,30),共15个基本事件,
满足|x﹣y|≤2的事件为(17,19),(19,20),(19,21),(20,21),共4个,
∴|x﹣y|≤2的概率p= .
【点评】本题考查茎叶图的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.
18.(12分)(2015秋•信阳期末)已知命题p:f(x)= sinx+ +k(x∈R,k>0),3≤f(x)≤6恒成立,命题q:方程 ﹣ =1表示焦点在x轴上的双曲线,若p∧q为真命题,求实数k的取值范围.
【分析】对于命题p:x∈R,可得﹣1≤sinx≤1,k≤f(x)≤k+1,由于3≤f(x)≤6恒成立,可得 ,解得k范围.命题q:方程 ﹣ =1表示焦点在x轴上的双曲线,可得 ,解得k范围.由于p∧q为真命题,可得p与q都为真命题,即可得出.
【解答】解:命题p:∵∀x∈R,∴﹣1≤sinx≤1,∴ sinx≤ ,∴k≤f(x)≤k+1,
∵3≤f(x)≤6恒成立,∴ ,解得3≤k≤5.
命题q:方程 ﹣ =1表示焦点在x轴上的双曲线,∴ ,解得0<k<1.
∵p∧q为真命题,∴p与q都为真命题,则 ,解得3≤k<4.
∴实数k的取值范围为[3,4).
【点评】本题考查了三角函数求值、函数的性质、复合命题之间的判定方法、双曲线的标准方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19.(12分)(2015秋•信阳期末)2015﹣2016学年高二A班50名学生在其中数学测试中(满分150分),成绩都介于100分到150分之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[100,110),第二组[110,120),…,第五组[140,150),按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,
(1)将频率分布直方图补充完整;
(2)若成绩大于等于110分且小于130分规定为良好,求该班在这次数学测试中成绩为良好的人数;
(3)请根据频率分布直方图,估计样本数据的众数和中位数(精确到0.1).
【分析】(1)由频率分布直方图求出第四组的频率,将频率分布直方图补充完整即可;
(2)根据频率分布直方图,求出成绩在[110,130)内的人数即可;
(3)由频率分布直方图得出众数落在第三组,从而求出众数的值,
再根据中位数两侧频率相等求出中位数.
【解答】解:(1)由频率分布直方图得,第四组的频率为1﹣(0.004+0.018+0.038+0.006)×10=1﹣0.66=0.34;
将频率分布直方图补充完整,如下;
(2)根据频率分布直方图得,成绩在[110,130)内的人数为:
50×0.018×10+50×0.038×10=28
所以该班在这次数学测试中成绩为良好的人数为28;
(3)由频率分布直方图知众数落在第三组[120,130)内,
所以众数是 =125;
因为数据落在第一、第二组的频率为10×(0.004+0.018)=0.22<0.5,
数据落在第一、第二、第三组的频率为10×(0.004+0.018+0.038)=0.6>0.5,
所以中位数落在第三组中,设中位数为x,0.22+(x﹣120)×0.038=0.5,
解得x≈127.4,
所以,估计样本数据的众数是125,中位数是127.4.
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了众数与中位数的计算问题,是基础题目.
20.(12分)(2015秋•信阳期末)为迎接2016年春节的到来,某公司制作了猴年吉祥物,该吉祥物每个成本为6元,每个售价为x(6<x<11)元,预计该产品年销售量为m万个,已知m与售价x的关系满足:m=68﹣k(x﹣5)2+x,且当售价为10元时,年销售量为28万个.
(1)求该吉祥物年销售利润y关于售价x的函数关系式;
(2)求售价为多少时,该吉祥物的年利润最大,并求出最大年利润.
【分析】(1)易知68﹣k(10﹣5)2+10=28,从而解得k=2;从而化简y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108(6<x<11);
(2)求导y′=﹣6(x﹣2)(x﹣9),从而判断函数的单调性,从而求最值.
【解答】解:(1)∵m=68﹣k(x﹣5)2+x,
∴68﹣k(10﹣5)2+10=28,
解得,k=2;
∴m=68﹣2(x﹣5)2+x=﹣2x2+21x+18.
∴y=m(x﹣6)=(﹣2x2+21x+18)(x﹣6)
=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108(6<x<11),
(2)由(1)知,y′=﹣6x2+66x﹣108=﹣6(x﹣2)(x﹣9),
令y′>0解得,6<x<9;令y′<0解得,9<x<11;
故y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在(6,9)上单调递增,在(9,11)上单调递减;
故x=9时,年利润最大,最大为135万元.
答:售价为9元时,该吉祥物年利润最大,且最大年利润为135万元.
【点评】本题考查了导数的综合应用及导数在实际问题中的应用.
21.(12分)(2015秋•信阳期末)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,点P( , )在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)
【分析】(1)由离心率公式求得a与b关系,将P点坐标代入椭圆方程,即可求得a和b的值,取出椭圆的方程;
(2)由题意可知,设出直线l的方程,及A和B点坐标,代入椭圆方程,求得关于y的一元二次方程,由韦达定理求得y1+y2和y1•y2的关系,根据三角形面积公式即可求得△AOB的面积,化简由基本不等式即可求得△AOB面积的最大值.
【解答】解:(1)∵e= = = ,
∴a2=2b2,①
又点P( , )在椭圆上,
∴ ②,
由①②得:a= ,b=1,
故椭圆方程为: ,
(2)由(1)可知:F(﹣1,0),A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为,x=ky﹣1,
由 ,消去x,整理得:(k2+2)y2﹣2ky﹣1=0,
由韦达定理可知:y1+y2= ,y1•y2=﹣ ,
∴S△AOB=S△AOF+S△BOF= •|OF|•|y1﹣y2|= •|y1﹣y2|= ,
= ,
= • ,
= • ,
= • ,
= • ≤ • = (当且仅当k2+1= ,即k=0时,等号成立),
∴△AOB的最大值为 .
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形的面积公式及基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
22.(12分)(2015秋•信阳期末)已知f(x)= (e是自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的极大值;
(Ⅱ)令h(x)=a+2f′(x)(a∈R),若h(x)有两个零点,x1,x2(x1<x2),求a的取值范围;
(Ⅲ)设F(x)=aex﹣x2,在(Ⅱ)的条件下,试证明0<F(x1)<1.
【分析】(Ⅰ)求得f(x)的导数,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间,进而得到极大值;
(Ⅱ)求出h(x)=a﹣ ,令h(x)=0,可得a= ,由题意可得x1,x2是方程a= 的两根,设g(x)= ,求出导数和单调区间、极值和最值,可得a的范围;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得,函数h(x)的两个零点满足0<x1<1<x2,由h(x1)=0aex1=2x1,求出F(x1)的解析式,可得F(x1)在(0,1)上递增,即可得证.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)= 的导数为f′(x)= ,
由f′(x)>0,可得x<0;由f′(x)<0,可得x>0.
即有f(x)在(0,+∞)递减,在(﹣∞,0)递增.
可得f(x)在x=0处取得极大值,且为1;
(Ⅱ)h(x)=a+2f′(x)=a﹣ ,
令h(x)=0,可得a= ,
若函数h(x)有两个零点x1,x2,则x1,x2是方程a= 的两根,
设g(x)= ,g′(x)= ,
由g′(x)>0,可得x<1,由g′(x)<0,可得x>1,
可得g(x)在(﹣∞,1)递增,在(1,+∞)递减,
g(x)max=g(1)= ,
由x→+∞,g(x)→0;x→﹣∞,g(x)→﹣∞.
要使方程a= 有两根,可得0<a< ,
故实数a的取值范围是(0, );
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可得,函数h(x)的两个零点满足0<x1<1<x2,
由h(x1)=a﹣ =0,即a= ,即aex1=2x1,
由F(x1)=aex1﹣x12=2x1﹣x12=﹣(x1﹣1)2+1,
显然F(x1)在(0,1)上递增,
由0<x1<1,可得0=F(0)<F(x1)<F(1)=1,
即0<F(x1)<1.
【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查函数方程的转化思想的运用,注意运用构造函数法和函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.